京都大学情報学研究科数理工学専攻 2015年8月実施基礎数学 I

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思齐塾, 祭音Myyura

実数列 $\{a_n\}$ を

a_1 = \sqrt{6}, \quad a_{n+1} = \sqrt{6+a_n} \quad (n = 1, 2, ...)

によって定める. 以下の問いに答えよ.

(i) 数列 $\{a_n\}$ は上に有界であることを示せ.

(ii) $n$ が増加するとき数列 $\{a_n\}$ は単調に増加することを示せ.

定义实数列 $\{a_n\}$ ：

a_1=\sqrt6,\qquad a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}\quad(n=1,2,\ldots).

完成以下各问：

すべての正の整数 $n$ に対して $a_n<3$ であることを帰納法で示す。

$n=1$ のとき、

a_1=\sqrt{6}<3.

$a_k<3$ と仮定すると、

a_{k+1}=\sqrt{6+a_k}<\sqrt{6+3}=3.

したがって、帰納法により $a_n<3$ がすべての $n$ で成り立つ。ゆえに数列 $\{a_n\}$ は上に有界である。

まず

a_1=\sqrt{6}<\sqrt{6+\sqrt{6}}=a_2.

$a_k<a_{k+1}$ と仮定する。平方根関数は正の範囲で狭義単調増加なので、

a_{k+1} =\sqrt{6+a_k} <\sqrt{6+a_{k+1}} =a_{k+2}.

したがって、帰納法により $a_n<a_{n+1}$ がすべての $n$ で成り立ち、 $\{a_n\}$ は単調増加である。

なお、(i) と (ii) からこの数列は収束する。極限を $\alpha$ とおけば、 $\alpha>0$ かつ

\alpha=\sqrt{6+\alpha}

であるから、 $\alpha^2-\alpha-6=0$ となる。正の解を選んで $\alpha=3$ を得る。