京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2014年8月実施 オペレーションズ・リサーチ

Author

Casablanca

Description

日本語版

関数 を連続的微分可能な凸関数とし、 とする。 ただし， は でない 次元ベクトル、 はスカラーであり、 はベクトルの転置を表す。

次の凸計画問題を考える。

さらにパラメータ を含む次の凸 2 次計画問題を考える。

ここで、決定変数は である。 任意の に対して問題 は唯一の最適解 をもつ.

以下の問いに答えよ。

(i) とする。問題 のカルーシュ・キューン・タッカー (Karush-Kuhn-Tucker) 条件を用いて を求めよ。

(ii) かつ であるとき、 は問題 (P) の最適解であることを示せ。

(iii) かつ であるとき，

であることを示せ。

(iv) であるとき， は問題 (P) の最適解でないことを示せ。

English Version

Kai

(i)

Lagrangian:

thus

(ii)

From (i) we know that minimizes .

Let . Since

then

thus

Therefore minnimize .

(iii)

Since

we obtain

Then

(iv)

Let . .

is continuously differentiable, and so is .

, thus

then

thus is not an optimal solution.