京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2014年8月実施 力学系数学

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• Characteristic-Roots-and-Stability

Author

Casablanca, 祭音Myyura

Description

日本語版

$a(t)$ を半無限区間 $[1, \infty)$ で定義された連続関数として、微分方程式

$$\begin{align} t \frac{d^2 x}{d t^2} + (t^2 - 1) a(t) \frac{dx}{dt} - t a(t) x = 0, \qquad t \geqq 1 \tag{1} \end{align}$$

を考える。$x = \frac{t^3}{t^2 + 1}$ を式 (1) のひとつの解とする。以下の問いに答えよ。

(i) 関数 $a(t)$ を求めよ。

(ii) 式 (1) で $x = \frac{t^3}{t^2 + 1} y$ とおく。$y$ が満たす微分方程式を求めよ。

(iii) (ii) で得られた微分方程式を解き、式 (1) の一般解を求めよ。

(iv) 式 (1) の解 $x(t)$ が半無限区間 $[1, \infty)$ において有界となるための、$t=1$ における初期値 $(x_0, v_0) = \left( x(1), \frac{dx}{dt} (1) \right)$ の必要十分条件を求めよ。

English Version

题目描述

设 $a(t)$ 是半无限区间 $[1,\infty)$ 上的连续函数，考虑微分方程

$$t\frac{d^2x}{dt^2}+(t^2-1)a(t)\frac{dx}{dt}-ta(t)x=0, \qquad t\geqq1. \tag{1}$$

已知 $x=\dfrac{t^3}{t^2+1}$ 是方程 (1) 的一个解。回答：

1. 求函数 $a(t)$。

2. 在 (1) 中作代换 $x=\dfrac{t^3}{t^2+1}y$，求 $y$ 满足的微分方程。

3. 解第 2 问的方程，从而求出 (1) 的一般解。

4. 求初值

   $$(x_0,v_0)=\left(x(1),\frac{dx}{dt}(1)\right)$$

   应满足的充要条件，使解 $x(t)$ 在 $[1,\infty)$ 上有界。

Kai

(i)

$$\frac{dx}{dt} = \frac{t^4 + 3t^2}{t^4 + 2t^2 + 1},\quad \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{2t(3-t^2)}{(t^2 + 1)^3}$$

and we get

$$a(t) = \frac{2}{t^2 + 1}$$

At $t=\sqrt3$, direct substitution gives $0=0$ and does not determine $a(t)$ at that point alone. The formula above holds for $t\ne\sqrt3$; continuity on $[1,\infty)$ gives $a(\sqrt3)=1/2$ as well.

(ii)

for solution $x_1, x_2$

$$\begin{aligned} (x_1'x_2 - x_1 x_2')' &= x_1 ''x_2 - x_1 x_2'' \\ &= -(t-\frac 1t )a(t)(x_1'x_2 - x_1 x_2') \end{aligned}$$

$x_2=x_1y$, $x_2'=x_1'y+x_1y'$, then

$$(x_1' x_1 y - x_1 (x_1 ' y + x_1 y'))' = -\frac{2(1-t^2)}{t(t^2 + 1)} x_1^2 y'$$

and we obtain

$$ty'' + 4y' = 0$$

(iii)

Let $y' = \mu$, then $t\mu ' = -4\mu$, we get $\mu = \frac {C}{t^4}$, $y = \frac{C_1}{t^3} + C_2$.

Let $C_1 = 1$ , $C_2 = 0$, we have

$$\frac{t^3}{t^2 + 1}y = \frac{1}{t^2 + 1}$$

since $\frac{1}{t^2 + 1}$ , $\frac{t^3}{t^2 + 1}$ is linear independent,

$$\frac{C_1 + C_2 t^3}{t^2 + 1}$$

is a general solution

(iv)

$$x(t) = \frac{C_1 + C_2 t^3}{t^2 + 1}$$

$$x'(t) = \frac{C_2 t^4 + 3C_2 t^2 - 2C_1 t}{(t^2 + 1)^2}$$

$C_2 = 0$ is a necessary and sufficient condition. And by solving:

$$\begin{bmatrix} x(1)\\ \frac{dx}{dt}(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{C_1 + C_2}{2} \\ \frac{-2C_1 + 4C_2}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ v_0 \end{bmatrix}$$

we get

$$\begin{aligned} &C_1 = \frac 23 (2x_0 - v_0) \\ &C_2 = \frac 23 (x_0 + v_0) \end{aligned}$$

obviously $x_0 = -v_0$ is necessary and sufficient.