京都大学情報学研究科数理工学専攻 2014年8月実施力学系数学

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Casablanca

$a(t)$ を半無限区間 $[1, \infty)$ で定義された連続関数として、微分方程式

\begin{align} t \frac{d^2 x}{d t^2} + (t^2 - 1) a(t) \frac{dx}{dt} - t a(t) x = 0, \qquad t \geqq 1 \tag{1} \end{align}

を考える。 $x = \frac{t^3}{t^2 + 1}$ を式 (1) のひとつの解とする。以下の問いに答えよ。

(i) 関数 $a(t)$ を求めよ。

(ii) 式 (1) で $x = \frac{t^3}{t^2 + 1} y$ とおく。 $y$ が満たす微分方程式を求めよ。

(iii) (ii) で得られた微分方程式を解き、式 (1) の一般解を求めよ。

(iv) 式 (1) の解 $x(t)$ が半無限区間 $[1, \infty)$ において有界となるための、 $t=1$ における初期値 $(x_0, v_0) = \left( x(1), \frac{dx}{dt} (1) \right)$ の必要十分条件を求めよ。

\frac{dx}{dt} = \frac{t^4 + 3t^2}{t^4 + 2t^2 + 1},\quad \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{2t(3-t^2)}{(t^2 + 1)^3}

and we get

a(t) = \frac{2}{t^2 + 1}

for solution $x_1, x_2$

\begin{aligned} (x_1'x_2 - x_1 x_2')' &= x_1 ''x_2 - x_1 x_2'' \\ &= -(t-\frac 1t )a(t)(x_1'x_2 - x_1 x_2') \end{aligned}

$x_2 = x_1 y$ , $x_2 ' = x_1 ' y + x_1 y_1 '$ , then

(x_1' x_1 y - x_1 (x_1 ' y + x_1 y'))' = -\frac{2(1-t^2)}{t(t^2 + 1)} x_1^2 y'

and we obtain

ty'' + 4y' = 0

Let $y' = \mu$ , then $t\mu ' = -4\mu$ , we get $\mu = \frac {C}{t^4}$ , $y = \frac{C_1}{t^3} + C_2$ .

Let $C_1 = 1$ , $C_2 = 0$ , we have

\frac{t^3}{t^2 + 1}y = \frac{1}{t^2 + 1}

since $\frac{1}{t^2 + 1}$ , $\frac{t^3}{t^2 + 1}$ is linear independent,

\frac{C_1 + C_2 t^3}{t^2 + 1}

is a general solution

x(t) = \frac{C_1 + C_2 t^3}{t^2 + 1}

x'(t) = \frac{C_2 t^4 + 3C_2 t^2 - 2C_1 t}{(t^2 + 1)^2}

$C_2 = 0$ is a necessary and sufficient condition. And by solving:

\begin{bmatrix} x(1)\\ \frac{dx}{dt}(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{C_1 + C_2}{2} \\ \frac{-2C_1 + 4C_2}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ v_0 \end{bmatrix}

we get

\begin{aligned} &C_1 = \frac 23 (2x_0 - v_0) \\ &C_2 = \frac 23 (x_0 + v_0) \end{aligned}

obviously $x_0 = -v_0$ is necessary and sufficient.