京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2014年8月実施 線形計画

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• Kyoto-University
• Linear-Programming-Duality
• Complementary-Slackness

Author

Casablanca, 祭音Myyura

Description

日本語版

以下の (i), (ii) に答えよ。

(i) 次の線形計画問題 (P1) とその双対問題 (D1) を考える。

$$\begin{aligned} \text{(P1)}: &\text{Minimize} &\boldsymbol{c}^{\top} \boldsymbol{x} \\ &\text{subject to} &\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \\ &\text{ } &\boldsymbol{x} \geqq \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{(D1)}: &\text{Maximize} &\boldsymbol{b}^{\top} \boldsymbol{w} \\ &\text{subject to} &\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{w} \leqq \boldsymbol{c} \end{aligned}$$

ここで、$\boldsymbol{A}$ は $m \times n$ 定数行列、$\boldsymbol{b}$ は $m$ 次元定数ベクトル、$\boldsymbol{c}$ は $n$ 次元定数ベクトル、$\boldsymbol{x}$ は $n$ 次元変数ベクトル、$\boldsymbol{w}$ は $m$ 次元変数ベクトルであり、$\top$ は転置記号を表す。 問題 (P1) と (D1) は最適解 $\boldsymbol{x}^*$ と $\boldsymbol{w}^*$ を持つとする。 さらに $\boldsymbol{y}^* = \boldsymbol{c} - \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{w}^*$ とする。 このとき、$x_i^* > 0$ であれば、$y_i^* = 0$ が成り立つことを示せ。

(ii) 次の線形計画問題を考える。

$$\begin{aligned} \text{(P2)}: &\text{Maximize} &x_5 \\ &\text{subject to} &\sum_{i=1}^4 x_i \leqq 1 \\ &\text{ } &\sum_{i=k+1}^4 x_i \leqq kx_k \ (k=1,2,3) \\ &\text{ } &x_5 \leqq 4x_4 \end{aligned}$$

問題 (P2) の最適解を $\boldsymbol{x}^*$ とする。問題 (P2) の双対問題の最適解を求めよ。さらに、

$$\sum_{i=1}^4 x_i^* = 1$$

が成り立つことを示せ。

English Version

题目描述

回答下列两问。

1. 考虑互为原、对偶的线性规划

   $$\begin{aligned} (\mathrm{P1}):\quad&\text{最小化}\quad \boldsymbol c^\top\boldsymbol x\\ &\text{满足}\quad \boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b,\quad \boldsymbol x\geqq\boldsymbol0, \end{aligned}$$
   $$\begin{aligned} (\mathrm{D1}):\quad&\text{最大化}\quad \boldsymbol b^\top\boldsymbol w\\ &\text{满足}\quad \boldsymbol A^\top\boldsymbol w\leqq\boldsymbol c. \end{aligned}$$

   其中 $\boldsymbol A$ 为 $m\times n$ 常数矩阵，$\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 分别为 $m$ 维、$n$ 维常向量，$\boldsymbol x,\boldsymbol w$ 分别为 $n$ 维、$m$ 维变量向量，$\top$ 表示转置。假设 P1、D1 分别有最优解 $\boldsymbol x^*,\boldsymbol w^*$，并令 $\boldsymbol y^*=\boldsymbol c-\boldsymbol A^\top\boldsymbol w^*$。证明：若 $x_i^*>0$，则 $y_i^*=0$。

2. 考虑线性规划

   $$\begin{aligned} (\mathrm{P2}):\quad&\text{最大化}\quad x_5\\ &\text{满足}\quad \sum_{i=1}^4x_i\leqq1,\\ &\hspace{2.8em}\sum_{i=k+1}^4x_i\leqq kx_k\quad(k=1,2,3),\\ &\hspace{2.8em}x_5\leqq4x_4. \end{aligned}$$

   设其最优解为 $\boldsymbol x^*$。求 P2 的对偶问题的最优解，并证明 $\sum_{i=1}^4x_i^*=1$。

Kai

(i)

$$\begin{aligned} (x^*)^{\top}y^* &= c^\top x^* - (Ax^*)^\top w^* \\ &= c^\top x^* - b^\top w^* \\ & = 0 \end{aligned}$$

since $x^* \succeq \boldsymbol{0}$ and $y^* = c - A^\top w^* \succeq \boldsymbol{0}$, hence every term $x_i^*y_i^*$ is zero. Therefore, $x_i^*>0$ implies $y_i^*=0$.

(ii)

Let $x = [x_1, x_2, x_3, x_4, x_5]^\top$, the problem (P2) can be written as

$$\begin{aligned} &\text{Minimize} &- [0,0,0,0,1]x\\ &\text{Subject to} &\begin{bmatrix} 1 &1 &1 & 1 &0\\ -1&1 &1 &1 &0 \\ 0 &-2 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &-3 &1 &0\\ 0 &0 &0 &-4 &1 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} \preceq \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Denote as

$$\begin{aligned} &\text{Minimize} &-c^\top x \\ &\text{Subject to} &A\boldsymbol{x} \preceq b \end{aligned}$$

Lagrangian:

$$L(x, \lambda) = -c^\top x + \lambda ^\top (Ax - b)$$

Lagrange dual function:

$$d(\lambda) = -b^\top \lambda$$

Thus the dual problem is

$$\begin{aligned} &\text{Maximize} &&-b^\top\lambda\\ &\text{subject to}&&A^\top\lambda=c,\qquad \lambda\succeq\boldsymbol0. \end{aligned}$$

Its optimal solution is $\lambda ^\top = [1,1,1,1,1]$, with value $-1$. The primal feasible point

$$x=\left[\frac12,\frac16,\frac1{12},\frac14,1\right]^\top$$

also has value $-1$, so both solutions are optimal. Since every component of $\lambda$ is positive, complementary slackness implies that all five primal inequalities are equalities for every optimal $x^*$. In particular,

$$\sum_{i=1}^{4}x_i^* = 1$$