京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2014年8月実施 基礎数学 II

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列 $A_n$ を次のように定義する：

$$A_n = \begin{pmatrix} 0 & n & & & 0 \\ 1 & 0 & n-1 & & \\ 0 & 2 & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 0 & n-2 \\ & & & n-1 & 0 & 1 \\ 0 & & & & n & 0 \end{pmatrix}$$

固有値 $n$ および $-n$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $v_1$ および $v_2$ とする。また、

$$\delta_{i,j} = \begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}$$

として、単位ベクトル $e_j = (\delta_{1,j}, \delta_{2,j}, ..., \delta_{n+1,j})^T$ を定義する。ここで、 $^T$ は転置を表す。

以下の問いに答えよ。

(i) 固有ベクトル $v_1, v_2$ を求めよ。

(ii) $n \geq 2$ とした時、行列 $T$ を $T = (v_1 \ v_2 \ e_3 \ ... \ e_{n+1})$ によって定義する。このとき、行列 $T^{-1}A_nT$ はブロック行列

$$\begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix}$$

で表されることを示し、行列 $B$ および $D$ を求めよ。ここで、 $0$ は $(n-1) \times 2$ の零行列を表す。

(iii) (ii) で求めた行列 $D$ および $A_{n-2}$ との間で

$$SDS^{-1} = A_{n-2}$$

を満たす正則な下三角行列 $S$ が存在することを示せ。

(iv) 行列 $A_n$ の固有多項式を計算し、全ての固有値を求めよ。

题目描述

定义 $(n+1)\times(n+1)$ 三对角矩阵

$$A_n= \begin{pmatrix} 0&n&&&0\\ 1&0&n-1&&\\ 0&2&0&\ddots&\\ &&\ddots&0&n-2\\ &&&n-1&0&1\\ 0&&&&n&0 \end{pmatrix}.$$

设 $v_1,v_2$ 分别是 $A_n$ 对应于特征值 $n$、$-n$ 的特征向量。再定义 Kronecker 符号与标准基向量

$$\delta_{i,j}= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\neq j, \end{cases} \qquad e_j=(\delta_{1,j},\delta_{2,j},\ldots,\delta_{n+1,j})^T,$$

其中上标 $T$ 表示转置。完成以下各问：

1. 求特征向量 $v_1,v_2$。

2. 当 $n\geq2$ 时，定义

   $$T=(v_1\ \ v_2\ \ e_3\ \cdots\ e_{n+1}).$$

   证明

   $$T^{-1}A_nT= \begin{pmatrix} B&C\\ 0&D \end{pmatrix},$$

   并求出分块 $B,D$；其中左下角的 $0$ 是 $(n-1)\times2$ 零矩阵。

3. 对第 2 问得到的 $D$，证明存在可逆下三角矩阵 $S$ 使

   $$SDS^{-1}=A_{n-2}.$$

4. 计算 $A_n$ 的特征多项式，并求出其全部特征值。

Kai

(i) 固有値 $\pm n$ の固有ベクトル

$A_n$ の成分は

$$(A_n)_{i,i-1}=i-1,\qquad (A_n)_{i,i+1}=n-i+1$$

であり、その他は $0$ である。したがって各行の和は $n$ なので、

$$v_1=(1,1,\ldots,1)^T$$

に対して $A_nv_1=nv_1$ である。

また、

$$v_2=(1,-1,1,-1,\ldots,(-1)^n)^T$$

とおくと、第 $i$ 成分について

$$\begin{aligned} (A_nv_2)_i &=(i-1)(-1)^{i-2}+(n-i+1)(-1)^i\\ &=n(-1)^i=-n(-1)^{i-1} \end{aligned}$$

となる。よって $A_nv_2=-nv_2$ である。

(ii) ブロック上三角表示

$v_1,v_2$ の最初の二成分からなる行列の行列式は $-2$ である。したがって

$$T=(v_1\ v_2\ e_3\ \cdots\ e_{n+1})$$

は正則である。最初の二列の作用から、

$$T^{-1}A_nT= \begin{pmatrix} B&C\\ 0&D \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} n&0\\ 0&-n \end{pmatrix}.$$

$D$ を具体的に求める。 $m=n-1$ とし、 $D=(d_{rk})_{1\leq r,k\leq m}$ とする。 $e_{k+2}$ に対応する列番号を $k$ とすれば、

$$d_{r1}= \begin{cases} 4-n,&r=2,\\ -(n-1),&r\geq4\ \text{かつ}\ r\ \text{が偶数},\\ 0,&\text{その他}, \end{cases}$$

また $2\leq k\leq m$ に対して

$$d_{rk} =(n-k)\delta_{r,k-1}+(k+2)\delta_{r,k+1}.$$

実際、

$$A_ne_j=(n-j+2)e_{j-1}+je_{j+1}$$

である。 $j=3$ の場合だけ $e_2$ を

$$e_2=\frac12(v_1-v_2)-e_4-e_6-\cdots$$

で消去すれば、上の第 $1$ 列が得られる。 $j\geq4$ では両項が $e_3,\ldots,e_{n+1}$ の張る部分に入るので、残りの列の式が得られる。

(iii) $D$ と $A_{n-2}$ の相似

$m=n-1$ 次行列 $S=(s_{ij})$ を

$$s_{ij}=\delta_{ij}-\delta_{i,j+2}$$

で定める。すなわち、主対角成分が $1$ 、第 $2$ 下対角成分が $-1$ で、その他が $0$ の下三角行列である。したがって

$$\det S=1$$

であり、 $S$ は正則である。

(ii) で得た $d_{rk}$ を代入して成分ごとに比較すると、

$$SD=A_{n-2}S.$$

実際、 $S$ の第 $j$ 列は $e_j-e_{j+2}$ であり、この差をとることで $D$ の第 $1$ 列の余分な偶数行成分が消え、残る上下対角成分はそれぞれ $n-2-i+1$ と $i$ になる。したがって

$$SDS^{-1}=A_{n-2}$$

である。

(iv) 固有多項式と固有値

$\chi_n(\lambda)=\det(\lambda I_{n+1}-A_n)$ とおく。ブロック上三角表示と (iii) から、

$$\chi_n(\lambda) =(\lambda-n)(\lambda+n)\chi_{n-2}(\lambda).$$

初期値は

$$\chi_0(\lambda)=\lambda, \qquad \chi_1(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)$$

である。帰納的に、

$$\boxed{ \chi_n(\lambda) =\prod_{k=0}^n\{\lambda-(n-2k)\} }$$

を得る。したがって固有値はすべて単純で、

$$\boxed{\lambda_k=n-2k\qquad(k=0,1,\ldots,n)}$$

である。