京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2013年8月実施 基礎数学 I

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思齐塾, 祭音Myyura

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大学公表の原題

以下の問いに答えよ。

(i) 不等式

$$2 \leq \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \quad n = 1, 2, ...$$

を示せ。

(ii) 極限

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2}$$

を求めよ。

(iii) $a, b > 0$ のとき

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n} = \max(a, b)$$

を示せ。

(iv) $a_1, a_2, ..., a_k > 0$ ( $k \geq 3$ ) のとき

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + ... + a_k^n} = \max(a_1, a_2, ..., a_k)$$

を示せ。

题目描述

完成以下各问：

1. 对每个正整数 $n=1,2,\ldots$，证明

   $$2\leq\left(1+\frac1n\right)^n.$$

2. 求极限

   $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}.$$

3. 对 $a,b>0$，证明

   $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n} =\max(a,b).$$

4. 对固定的 $k\geq3$ 以及 $a_1,a_2,\ldots,a_k>0$，证明

   $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n} =\max(a_1,a_2,\ldots,a_k).$$

Kai

(i) 不等式

二項定理より、

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =1+1+\sum_{j=2}^{n}\binom{n}{j}\frac{1}{n^j}.$$

右辺の和は非負である。したがって、すべての正の整数 $n$ に対して

$$2\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

が成り立つ。なお、 $n=1$ のときは等号である。

(ii) 累乗根の極限

$\sqrt[n]{2}=1+h_n$ とおくと $h_n>0$ である。ベルヌーイの不等式から

$$2=(1+h_n)^n\geq 1+nh_n$$

となるので、

$$0<h_n\leq \frac{1}{n}.$$

右辺は $0$ に収束するから、はさみうちの原理により $h_n\to 0$ である。よって

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1.$$

(iii) 2 項の場合

$M=\max(a,b)$ とおく。 $a,b>0$ であるから

$$M^n\leq a^n+b^n\leq 2M^n.$$

各辺の $n$ 乗根をとると

$$M\leq \sqrt[n]{a^n+b^n}\leq M\sqrt[n]{2}.$$

(ii) と、はさみうちの原理から

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n} =M =\max(a,b).$$

(iv) 一般の有限個の項

$M=\max(a_1,\ldots,a_k)$ とおけば、

$$M^n\leq \sum_{j=1}^{k}a_j^n\leq kM^n$$

であり、したがって

$$M\leq \sqrt[n]{\sum_{j=1}^{k}a_j^n}\leq M\sqrt[n]{k}.$$

ここで $k\geq 3$ は固定されている。 $\sqrt[n]{k}=1+u_n$ とおくと、(ii) と同様に

$$k=(1+u_n)^n\geq 1+nu_n$$

より $0\leq u_n\leq (k-1)/n$ となる。ゆえに $\sqrt[n]{k}\to 1$ であり、はさみうちの原理から

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_k^n} =\max(a_1,\ldots,a_k).$$