京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2012年8月実施 基礎数学 II

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$\mathbb{C}^{\,n \times m}$ で、 $n \times m$ 複素行列の全体を表す。 行列 $A \in \mathbb{C}^{\,n \times m}$ のエルミート共役を $A^*$ で表す。 $H \in \mathbb{C}^{\,n \times n}$ を正定値エルミート行列とする。 以下の問いに答えよ。 (i) $H$ は逆行列をもつが, $H^{-1}$ もまた正定値エルミート行列であることを示せ.

(ii) $n$ の分割 $n = r + s, r > 0, s > 0$ , に応じて, $H$ を次のようにブロック行列に分割する.

$$H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & D \end{pmatrix} \qquad (*)$$

ただし, $A \in C^{r \times r}, B \in C^{r \times s}, B^* \in C^{s \times r}, D \in C^{s \times s}$ . このとき, $A$ も $D$ も正定値エルミート行列であることを示せ.

(iii) 適当な下三角行列を左から, 上三角行列を右からそれぞれかけることにより, (*) の行列は, $A$ を変化させることなくブロック対角行列 (左下と右上のブロックが零行列の形の行列) に変形できることを示せ.

(iv) 次に, $H \in C^{n \times n}$ の $(i, j)$ 成分を $h_{ij}$ で表すとき,

$$\det H \leq h_{11} h_{22} \cdots h_{nn}$$

の成り立つことを $n$ に関する数学的帰納法で証明せよ.

(v) $A \in C^{n \times n}$ を $A = (\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n)$ の形に表す. ただし, $\mathbf{a}_k \in C^n, k = 1, \dots, n$ . このとき

$$|\det(A)|^2 \leq ||\mathbf{a}_1||^2 \cdots ||\mathbf{a}_n||^2$$

の成り立つことを示せ. ただし, $||\mathbf{a}_k||$ は $\mathbf{a}_k$ の標準的ノルムを表す.

题目描述

以 $\mathbb C^{n\times m}$ 表示全体 $n\times m$ 复矩阵，以 $A^*$ 表示矩阵 $A$ 的 Hermite 共轭。设 $H\in\mathbb C^{n\times n}$ 是正定 Hermite 矩阵。完成以下各问：

1. 已知 $H$ 可逆，证明 $H^{-1}$ 也是正定 Hermite 矩阵。

2. 对分拆 $n=r+s$（$r>0,\ s>0$），将 $H$ 写成

   $$H= \begin{pmatrix} A&B\\ B^*&D \end{pmatrix},\tag{*}$$

   其中

   $$A\in\mathbb C^{r\times r},\quad B\in\mathbb C^{r\times s},\quad B^*\in\mathbb C^{s\times r},\quad D\in\mathbb C^{s\times s}.$$

   证明 $A$ 与 $D$ 都是正定 Hermite 矩阵。

3. 证明可以在 $(*)$ 左侧乘某个适当的下三角分块矩阵、右侧乘某个适当的上三角分块矩阵，在保持左上角分块 $A$ 不变的同时，把 $H$ 化为上下两个非对角分块均为零的分块对角矩阵。

4. 记 $H$ 的 $(i,j)$ 元为 $h_{ij}$。用关于 $n$ 的数学归纳法证明

   $$\det H\leq h_{11}h_{22}\cdots h_{nn}.$$

5. 将任意 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ 按列写成

   $$A=(\boldsymbol a_1,\ldots,\boldsymbol a_n), \qquad \boldsymbol a_k\in\mathbb C^n.$$

   证明

   $$|\det A|^2 \leq\|\boldsymbol a_1\|^2\cdots\|\boldsymbol a_n\|^2,$$

   其中 $\|\boldsymbol a_k\|$ 为标准范数。

Kai

(i) $H^{-1}$ の正定値性

$H$ は正定値なので $\ker H=\{0\}$ であり、正則である。また

$$(H^{-1})^*=(H^*)^{-1}=H^{-1}$$

だから $H^{-1}$ は Hermite 行列である。任意の $y\neq0$ に対し $x=H^{-1}y$ とおけば $x\neq0$ であり、

$$y^*H^{-1}y=(Hx)^*H^{-1}(Hx)=x^*Hx>0.$$

よって $H^{-1}$ も正定値 Hermite 行列である。

(ii) 主対角ブロック

$u\in\mathbb C^r\setminus\{0\}$ に対して $\binom u0\neq0$ だから、

$$\begin{pmatrix}u^*&0\end{pmatrix} H \begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix} =u^*Au>0.$$

同様に、 $v\in\mathbb C^s\setminus\{0\}$ に対して

$$\begin{pmatrix}0&v^*\end{pmatrix} H \begin{pmatrix}0\\v\end{pmatrix} =v^*Dv>0.$$

$H=H^*$ から $A=A^*$ 、 $D=D^*$ でもあるので、 $A,D$ はともに正定値 Hermite 行列である。

(iii) Schur 補行列

(ii) より $A$ は正則である。次の下三角行列と上三角行列を用いる。

$$L= \begin{pmatrix} I_r&0\\ -B^*A^{-1}&I_s \end{pmatrix}, \qquad U= \begin{pmatrix} I_r&-A^{-1}B\\ 0&I_s \end{pmatrix}.$$

直接乗法すると、

$$LH= \begin{pmatrix} A&B\\ 0&D-B^*A^{-1}B \end{pmatrix}$$

および

$$LHU= \begin{pmatrix} A&0\\ 0&D-B^*A^{-1}B \end{pmatrix}$$

を得る。なお $U=L^*$ なので、これは合同変換でもある。したがって Schur 補行列

$$D-B^*A^{-1}B$$

も正定値である。

(iv) Hadamard の不等式

$n=1$ の場合は等号である。 $n-1$ 次まで成立すると仮定し、 $r=1$ 、 $s=n-1$ として

$$H= \begin{pmatrix} h_{11}&B\\ B^*&D \end{pmatrix}$$

と分割する。(iii) から

$$\det H =h_{11}\det\left(D-B^*h_{11}^{-1}B\right).$$

$S=B^*h_{11}^{-1}B$ とおくと $S$ は半正定値であり、 $D-S$ は正定値である。 $D^{-1/2}SD^{-1/2}$ の固有値を $\mu_i$ とすれば $0\leq\mu_i<1$ だから、

$$\det(D-S) =\det D\prod_{i=1}^{n-1}(1-\mu_i) \leq\det D.$$

帰納法の仮定を $D$ に適用して、

$$\det H \leq h_{11}\det D \leq h_{11}h_{22}\cdots h_{nn}$$

を得る。

(v) 一般の行列に対する不等式

$A$ が正則でなければ左辺は $0$ なので明らかである。 $A$ が正則なら $H=A^*A$ は正定値 Hermite 行列であり、

$$h_{ii}=\boldsymbol a_i^*\boldsymbol a_i=\|\boldsymbol a_i\|^2$$

かつ

$$\det H=\det(A^*)\det A=|\det A|^2.$$

(iv) を適用すれば、

$$|\det A|^2 \leq\|\boldsymbol a_1\|^2\cdots\|\boldsymbol a_n\|^2$$

となる。