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京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2012年8月実施 基礎数学 I

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

関数 f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} は (−∞,∞)(-\infty, \infty) において積分可能である. 級数 ∑k=−∞∞f(x+2kπ)\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(x+2k\pi) が区間 (−∞,∞)(-\infty, \infty) で一様収束することに注意して、周期関数 F(x)F(x) を

F(x)=∑k=−∞∞f(x+2kπ)F(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(x + 2k\pi)

で定める. 以下の問いに答えよ.

(i) 積分

∫−ππF(x)dx\int_{-\pi}^{\pi} F(x) dx

を求めよ.

(ii) ∣x∣≥π|x| \geq \pi において, 不等式

f(x)≤e−π∣x∣(∗)f(x) \leq e^{-\pi|x|} \qquad (*)

が成り立つことを示せ.

(iii) ∣x∣≤π|x| \leq \pi とする. 不等式(*) を用いて

∣F(x)−f(x)∣<2e−π21−e−2π2|F(x) - f(x)| < \frac{2e^{-\pi^2}}{1 - e^{-2\pi^2}}

が成り立つことを示せ.

题目描述​

函数 f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2} 在 (−∞,∞)(-\infty,\infty) 上可积。注意到级数

∑k=−∞∞f(x+2kπ)\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x+2k\pi)

在整个实轴上一致收敛，据此定义周期函数

F(x)=∑k=−∞∞f(x+2kπ).F(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x+2k\pi).

完成以下各问：

  1. 计算

    ∫−ππF(x) dx.\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\,dx.

  2. 证明当 ∣x∣≥π|x|\geq\pi 时，

    f(x)≤e−π∣x∣.(*)f(x)\leq e^{-\pi|x|}.\tag{*}

  3. 设 ∣x∣≤π|x|\leq\pi。利用不等式 (∗)(*) 证明

    ∣F(x)−f(x)∣<2e−π21−e−2π2.|F(x)-f(x)| <\frac{2e^{-\pi^2}}{1-e^{-2\pi^2}}.

Kai​

実軸全体での一様収束は成立しない。対称部分和 FN(x)=∑∣k∣≤Nf(x+2kπ)F_N(x)=\sum_{|k|\le N}f(x+2k\pi) に対し x=−2(N+1)πx=-2(N+1)\pi と取ると、省いた k=N+1k=N+1 の項が1なので F(x)−FN(x)≥1F(x)-F_N(x)\ge1 となる。一様収束が成り立つのは各有界区間上であり、本問の積分区間 [−π,π][-\pi,\pi] では十分である。

(i)​

各項が非負なので Tonelli の定理により和と積分を交換できる。また ∣x∣≤π|x|\le\pi では f(x+2kπ)≤e−(2∣k∣−1)2π2f(x+2k\pi)\le e^{-(2|k|-1)^2\pi^2}（k≠0k\ne0）であり、右辺の和が収束するため、この区間上の一様収束からも項別積分を正当化できる。各項で u=x+2kπu=x+2k\pi と変数変換すると、

∫−ππF(x) dx=∑k=−∞∞∫−ππf(x+2kπ) dx=∑k=−∞∞∫(2k−1)π(2k+1)πf(u) du=∫−∞∞e−u2 du=π\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}F(x)\,dx &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x+2k\pi)\,dx\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}f(u)\,du\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\,du\\ &=\boxed{\sqrt{\pi}} \end{aligned}

となる。

(ii)​

∣x∣≥π|x|\geq\pi ならば、

x2=∣x∣2≥π∣x∣x^2=|x|^2\geq\pi|x|

である。したがって −x2≤−π∣x∣-x^2\leq-\pi|x| であり、指数関数の単調性から

f(x)=e−x2≤e−π∣x∣\boxed{f(x)=e^{-x^2}\leq e^{-\pi|x|}}

を得る。

(iii)​

∣x∣≤π|x|\leq\pi とする。各 k≥1k\geq 1 に対して

∣x±2kπ∣≥2kπ−∣x∣≥(2k−1)π≥π|x\pm2k\pi| \geq 2k\pi-|x| \geq(2k-1)\pi \geq\pi

なので、(ii) を適用できる。すべての項は非負だから、

∣F(x)−f(x)∣=∑k=1∞(f(x+2kπ)+f(x−2kπ))≤2∑k=1∞e−(2k−1)π2=2e−π21−e−2π2\begin{aligned} |F(x)-f(x)| &=\sum_{k=1}^{\infty} \bigl(f(x+2k\pi)+f(x-2k\pi)\bigr)\\ &\leq 2\sum_{k=1}^{\infty}e^{-(2k-1)\pi^2}\\ &=\frac{2e^{-\pi^2}}{1-e^{-2\pi^2}} \end{aligned}

となる。 ∣x∣<π|x|<\pi では上の項別評価がすべて狭義であり、 x=±πx=\pm\pi でも等号となり得るのは一つの項だけで、ほかの項では狭義不等号となる。よって全体として

∣F(x)−f(x)∣<2e−π21−e−2π2\boxed{ |F(x)-f(x)| < \frac{2e^{-\pi^2}}{1-e^{-2\pi^2}}}

が成り立つ。

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