京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2012年8月実施 基礎数学 I

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

関数 $f(x) = e^{-x^2}$ は $(-\infty, \infty)$ において積分可能である. 級数 $\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(x+2k\pi)$ が区間 $(-\infty, \infty)$ で一様収束することに注意して、周期関数 $F(x)$ を

$$F(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(x + 2k\pi)$$

で定める. 以下の問いに答えよ.

(i) 積分

$$\int_{-\pi}^{\pi} F(x) dx$$

を求めよ.

(ii) $|x| \geq \pi$ において, 不等式

$$f(x) \leq e^{-\pi|x|} \qquad (*)$$

が成り立つことを示せ.

(iii) $|x| \leq \pi$ とする. 不等式(*) を用いて

$$|F(x) - f(x)| < \frac{2e^{-\pi^2}}{1 - e^{-2\pi^2}}$$

が成り立つことを示せ.

题目描述

函数 $f(x)=e^{-x^2}$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上可积。注意到级数

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x+2k\pi)$$

在整个实轴上一致收敛，据此定义周期函数

$$F(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x+2k\pi).$$

完成以下各问：

1. 计算

   $$\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\,dx.$$

2. 证明当 $|x|\geq\pi$ 时，

   $$f(x)\leq e^{-\pi|x|}.\tag{*}$$

3. 设 $|x|\leq\pi$。利用不等式 $(*)$ 证明

   $$|F(x)-f(x)| <\frac{2e^{-\pi^2}}{1-e^{-2\pi^2}}.$$

Kai

(i)

級数は一様収束するので項別積分できる。各項で $u=x+2k\pi$ と変数変換すると、

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}F(x)\,dx &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi}f(x+2k\pi)\,dx\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi}f(u)\,du\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\,du\\ &=\boxed{\sqrt{\pi}} \end{aligned}$$

となる。

(ii)

$|x|\geq\pi$ ならば、

$$x^2=|x|^2\geq\pi|x|$$

である。したがって $-x^2\leq-\pi|x|$ であり、指数関数の単調性から

$$\boxed{f(x)=e^{-x^2}\leq e^{-\pi|x|}}$$

を得る。

(iii)

$|x|\leq\pi$ とする。各 $k\geq 1$ に対して

$$|x\pm2k\pi| \geq 2k\pi-|x| \geq(2k-1)\pi \geq\pi$$

なので、(ii) を適用できる。すべての項は非負だから、

$$\begin{aligned} |F(x)-f(x)| &=\sum_{k=1}^{\infty} \bigl(f(x+2k\pi)+f(x-2k\pi)\bigr)\\ &\leq 2\sum_{k=1}^{\infty}e^{-(2k-1)\pi^2}\\ &=\frac{2e^{-\pi^2}}{1-e^{-2\pi^2}} \end{aligned}$$

となる。 $|x|<\pi$ では上の項別評価がすべて狭義であり、 $x=\pm\pi$ でも等号となり得るのは一つの項だけで、ほかの項では狭義不等号となる。よって全体として

$$\boxed{ |F(x)-f(x)| < \frac{2e^{-\pi^2}}{1-e^{-2\pi^2}}}$$

が成り立つ。