京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2010年8月実施 基礎数学 I

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

変数の関数 $f(x) = \tan^{-1}x, (f(0) = 0)$ の $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ とかく. 以下の問いに答えよ.

(i) 任意の自然数 $n$ について

$$f^{(n)}(x) = (n-1)! \cos^n y \cdot \sin\left(n\left(y + \frac{\pi}{2}\right)\right), \quad (y = \tan^{-1}x)$$

を示せ.

(ii)

$$f^{(n)}(0) = \begin{cases} (-1)^m(2m)! & (n = 2m+1) \\ 0 & (n = 2m) \end{cases}$$

が成り立つことを示せ.

(iii) 剩余項 $R_{2n}(x)$ を用いて

$$\tan^{-1} x = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac{1}{2k+1} x^{2k+1} + R_{2n}(x),$$

$$R_{2n}(x) = \frac{1}{2n} \cos^{2n} z \cdot \sin\left(2n\left(z + \frac{\pi}{2}\right)\right) x^{2n}, \quad (z = \tan^{-1}\theta x, 0 < \theta < 1)$$

とおくとき, $|x| \leq 1$ ならば

$$\lim_{n \to \infty} |R_{2n}(x)| = 0$$

となることを示せ.

(iv)

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$

を示せ.

题目描述

令 $f(x)=\tan^{-1}x$ 且 $f(0)=0$，以 $f^{(n)}(x)$ 表示其 $n$ 阶导数。完成以下各问：

1. 对任意自然数 $n$，证明

   $$f^{(n)}(x) =(n-1)!\cos^ny\, \sin\left(n\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\right), \qquad y=\tan^{-1}x.$$

2. 证明原点处的各阶导数满足

   $$f^{(n)}(0)= \begin{cases} (-1)^m(2m)!,&n=2m+1,\\ 0,&n=2m. \end{cases}$$

3. 用余项 $R_{2n}(x)$ 写成

   $$\tan^{-1}x =\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} +R_{2n}(x),$$

   其中

   $$R_{2n}(x) =\frac{1}{2n}\cos^{2n}z\, \sin\left(2n\left(z+\frac{\pi}{2}\right)\right)x^{2n}, \qquad z=\tan^{-1}(\theta x),\quad0<\theta<1.$$

   证明当 $|x|\leq1$ 时，

   $$\lim_{n\to\infty}|R_{2n}(x)|=0.$$

4. 由此证明 Gregory–Leibniz 级数

   $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.$$

Kai

(i)

$y=\tan^{-1}x$ とおくと、 $x=\tan y$ であり、

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2y$$

である。 $n=1$ のとき、

$$0!\cos y\sin\left(y+\frac{\pi}{2}\right) =\cos^2y=f'(x)$$

なので、公式は成り立つ。

$n=k$ で公式が成り立つと仮定する。 $x$ で微分し、 $dy/dx=\cos^2y$ を用いると、

$$\begin{aligned} f^{(k+1)}(x) &=(k-1)!\frac{d}{dy} \left\{\cos^ky\, \sin\left(k\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\right)\right\} \cos^2y\\ &=k!\cos^{k+1}y \left\{ \cos y\cos\left(k\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\right) -\sin y\sin\left(k\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\right) \right\}\\ &=k!\cos^{k+1}y \cos\left(k\left(y+\frac{\pi}{2}\right)+y\right)\\ &=k!\cos^{k+1}y \sin\left((k+1)\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{aligned}$$

となる。よって数学的帰納法により、

$$\boxed{ f^{(n)}(x) =(n-1)!\cos^ny\, \sin\left(n\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\right)}$$

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

(ii)

$x=0$ では $y=0$ なので、(i) より

$$f^{(n)}(0)=(n-1)!\sin\frac{n\pi}{2}$$

である。したがって

$$\boxed{ f^{(n)}(0)= \begin{cases} (-1)^m(2m)! & (n=2m+1),\\ 0 & (n=2m) \end{cases}}$$

を得る。

(iii)

$|x|\leq 1$ ならば、 $|\cos z|\leq 1$ 、 $|\sin(2n(z+\pi/2))|\leq 1$ 、および $|x|^{2n}\leq 1$ である。したがって

$$\begin{aligned} |R_{2n}(x)| &=\left| \frac{1}{2n}\cos^{2n}z\, \sin\left(2n\left(z+\frac{\pi}{2}\right)\right)x^{2n} \right|\\ &\leq\frac{1}{2n} \end{aligned}$$

となる。 $1/(2n)\to 0$ なので、はさみうちの原理により

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}|R_{2n}(x)|=0}$$

である。

(iv)

(iii) のテイラー展開で $x=1$ とすると、

$$\tan^{-1}1 =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}$$

である。 $\tan^{-1}1=\pi/4$ より、

$$\boxed{ \frac{\pi}{4} =1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots}$$

が示された。