京都大学情報学研究科数理工学専攻 2009年8月実施基礎数学 II

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思齐塾, 祭音Myyura

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$M(n, \mathbb{R})$ で $n \times n$ 実行列の全体を表し， $I \in M(n, \mathbb{R})$ で単位行列を表す。以下の問いに答えよ。

(i) $I + X$ が可逆であるとして， $Y = (I - X)(I + X)^{-1}$ とおく。このとき， $I + Y$ もまた可逆で， $X = (I - Y)(I + Y)^{-1}$ が成り立つことを示せ。

(ii) $A \in M(n, \mathbb{R})$ が反対称行列で $I + A$ が可逆ならば， $G = (I - A)(I + A)^{-1}$ は直交行列であることを示せ。ただし， $A^T = -A$ の成り立つ行列 $A$ を反対称 (歪対称) 行列といい，上付きの添え字 $T$ は行列の転置を表す。

(iii) ある $J \in M(n, \mathbb{R})$ に対し， $H \in M(n, \mathbb{R})$ は $H^T J = -JH$ をみたし， $I + H$ は可逆とする。このとき $S = (I - H)(I + H)^{-1}$ は $S^T J S = J$ をみたすことを示せ。(特に $J = I$ ならば，この問題は (ii) に帰着する。)

(iv) $n = 2$ とする。(ii), (iii) における $A, G, H, S$ を一般的な形で求めたい。(iii) における $J$ はここでは特に $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ とする。まず，次の一般的な反対称行列を $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}$ とおいて， $G$ を求めよ。さらに， $H = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \in M(2, \mathbb{R})$ とおいて， $H^T J = -JH$ をみたすように $H$ を定め，続いて $S$ を求めよ。

题目描述

以 $M(n,\mathbb R)$ 表示全体 $n\times n$ 实矩阵，以 $I$ 表示单位矩阵。完成以下各问：

假设 $I+X$ 可逆，并令

$Y=(I-X)(I+X)^{-1}.$

证明 $I+Y$ 也可逆，且

$X=(I-Y)(I+Y)^{-1}.$
若 $A\in M(n,\mathbb R)$ 为反对称矩阵，即 $A^T=-A$ ，且 $I+A$ 可逆，证明

$G=(I-A)(I+A)^{-1}$

是正交矩阵；上标 $T$ 表示转置。
设给定 $J\in M(n,\mathbb R)$ ，矩阵 $H\in M(n,\mathbb R)$ 满足 $H^TJ=-JH$ ，且 $I+H$ 可逆。证明

$S=(I-H)(I+H)^{-1}$

满足 $S^TJS=J$ 。特别地， $J=I$ 时即退化为第 2 问。
取 $n=2$ ，并在第 3 问中令

$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$

先对一般反对称矩阵

$A=\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix},\qquad a\in\mathbb R,$

求出 $G$ 。再令

$H=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix},$

求出满足 $H^TJ=-JH$ 的一般 $H$ ，进而计算相应的 $S$ 。

Kai

(i) Cayley 変換の反転

$Y=(I-X)(I+X)^{-1}$ から

I+Y=2(I+X)^{-1}

である。したがって $I+Y$ は正則である。また、

\begin{aligned} Y(I+X)&=I-X,\\ (I+Y)X&=I-Y \end{aligned}

だから

X=(I+Y)^{-1}(I-Y).

$I-Y$ と $I+Y$ はともに $Y$ の多項式なので可換であり、

X=(I-Y)(I+Y)^{-1}

を得る。

(ii) 直交性

$A^T=-A$ から

G^T=(I-A)^{-1}(I+A).

$I-A$ と $I+A$ は可換なので、

\begin{aligned} G^TG &=(I-A)^{-1}(I+A)(I-A)(I+A)^{-1}\\ &=I. \end{aligned}

したがって $G$ は直交行列である。

(iii) $S^TJS=J$

$H^TJ=-JH$ は、次の二式と同値である。

(I-H^T)J=J(I+H), \qquad (I+H^T)J=J(I-H).

$I+H$ が正則なので $I+H^T$ も正則である。 $S^T=(I+H^T)^{-1}(I-H^T)$ を用いると、

\begin{aligned} S^TJS &=(I+H^T)^{-1}(I-H^T)J(I-H)(I+H)^{-1}\\ &=(I+H^T)^{-1}J(I+H)(I-H)(I+H)^{-1}\\ &=(I+H^T)^{-1}J(I-H)\\ &=J. \end{aligned}

ここでは $J$ の可逆性を仮定していない。

(iv) $n=2$ の計算

まず

A= \begin{pmatrix} 0&a\\ -a&0 \end{pmatrix}

に対して、

(I+A)^{-1} =\frac1{1+a^2} \begin{pmatrix} 1&-a\\ a&1 \end{pmatrix}.

したがって

G= \frac1{1+a^2} \begin{pmatrix} 1-a^2&-2a\\ 2a&1-a^2 \end{pmatrix}.

次に $H=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ として $H^TJ=-JH$ を成分比較すると $s=-p$ を得る。よって

H= \begin{pmatrix} p&q\\ r&-p \end{pmatrix}.

$I+H$ が正則であるという条件は

\delta:=\det(I+H)=1-p^2-qr\neq0

である。直接計算により、

S= \frac1{\delta} \begin{pmatrix} 1-2p+p^2+qr&-2q\\ -2r&1+2p+p^2+qr \end{pmatrix}

を得る。

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题目描述​

Kai​

(i) Cayley 変換の反転​

(ii) 直交性​

(iii) STJS=JS^TJS=JSTJS=J​

(iv) n=2n=2n=2 の計算​