京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2007年8月実施 基礎数学 II

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

nを2以上の自然数とし, Vandermonde行列 $V_n$ および Hankel行列 $H_n$ を

$$V_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}, \quad H_n = \begin{pmatrix} s_0 & s_1 & \cdots & s_{n-1} \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_{n-1} & s_n & \cdots & s_{2n-2} \end{pmatrix}$$

により導入する. 各 $s_k$ は $x_i$ を用いて $s_k = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k, (k=0, 1, \dots)$ と表されるとする. ここに, $s_0 = 1 + 1 + \cdots + 1 = n$ である. また,

$$\Delta(x_1, x_2, \dots, x_n) := \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)$$

とおく. 以下の問いに答えよ.

(i) $\det V_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \Delta(x_1, x_2, \dots, x_n)$ を示せ.

(ii) 相異なる $x_i$ について平面上の $n$ 点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ をとる. 曲線

$$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{n-1} x^{n-1}$$

がこれら $n$ 点をすべて通るとき, 係数 $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ は, 与えられた $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ から一意に定まることを示せ.

(iii) $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ のとき, $\det V_n > 0$ が成り立つことを示せ.

(iv) $H_n$ を $V_n$ で表し, $\det H_n = \Delta(x_1, x_2, \dots, x_n)^2$ を示せ.

(v) Hankel行列 $H_{n+1}$ を

$$H_{n+1} = \begin{pmatrix} s_0 & s_1 & \cdots & s_n \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_{n+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ s_n & s_{n+1} & \cdots & s_{2n} \end{pmatrix}$$

で定めるとき, $\det H_{n+1} = 0$ が成り立つことを示せ.

题目描述

设 $n\geq2$ 为自然数，定义 Vandermonde 矩阵和 Hankel 矩阵

$$V_n= \begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{pmatrix}, \qquad H_n= \begin{pmatrix} s_0&s_1&\cdots&s_{n-1}\\ s_1&s_2&\cdots&s_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ s_{n-1}&s_n&\cdots&s_{2n-2} \end{pmatrix},$$

其中

$$s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k\quad(k=0,1,\ldots), \qquad s_0=n,$$

并记

$$\Delta(x_1,\ldots,x_n) :=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j).$$

完成以下各问：

1. 证明

   $$\det V_n=(-1)^{n(n-1)/2}\Delta(x_1,\ldots,x_n).$$

2. 取横坐标 $x_i$ 两两不同的平面点 $(x_i,y_i)\ (i=1,\ldots,n)$。证明：若次数不超过 $n-1$ 的曲线

   $$y=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$$

   通过全部这些点，则系数 $a_0,\ldots,a_{n-1}$ 由所给点唯一确定。

3. 当 $x_1<x_2<\cdots<x_n$ 时，证明 $\det V_n>0$。

4. 用 $V_n$ 表示 $H_n$，并证明

   $$\det H_n=\Delta(x_1,\ldots,x_n)^2.$$

5. 再定义

   $$H_{n+1}= \begin{pmatrix} s_0&s_1&\cdots&s_n\\ s_1&s_2&\cdots&s_{n+1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ s_n&s_{n+1}&\cdots&s_{2n} \end{pmatrix},$$

   证明 $\det H_{n+1}=0$。

Kai

(i) Vandermonde 行列式

通常の Vandermonde 行列式の公式から、

$$\det V_n=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$$

である。一方、因子の個数は $\binom n2=n(n-1)/2$ であり、各因子について $x_j-x_i=-(x_i-x_j)$ だから、

$$\det V_n =(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j) =(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\Delta(x_1,\ldots,x_n)$$

を得る。

(ii) 補間多項式の一意性

$\boldsymbol a=(a_0,\ldots,a_{n-1})^T$ 、 $\boldsymbol y=(y_1,\ldots,y_n)^T$ とおくと、各点を通る条件は

$$V_n^T\boldsymbol a=\boldsymbol y$$

と書ける。 $x_1,\ldots,x_n$ は相異なるので、(i) より $\det V_n\neq0$ である。したがって $V_n^T$ は正則であり、

$$\boldsymbol a=(V_n^T)^{-1}\boldsymbol y$$

は一意に定まる。

(iii) 行列式の符号

$x_1<x_2<\cdots<x_n$ なら、 $i<j$ に対して $x_j-x_i>0$ である。よって

$$\det V_n=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)>0$$

となる。

(iv) Hankel 行列の分解

$H_n$ の $(i,j)$ 成分は

$$s_{i+j-2} =\sum_{k=1}^n x_k^{i+j-2} =\sum_{k=1}^n x_k^{i-1}x_k^{j-1}$$

であり、これは $V_nV_n^T$ の $(i,j)$ 成分に等しい。したがって

$$H_n=V_nV_n^T$$

である。ゆえに

$$\det H_n =\det V_n\det V_n^T =(\det V_n)^2 =\Delta(x_1,\ldots,x_n)^2$$

を得る。

(v) $H_{n+1}$ の行列式

$(n+1)\times n$ 行列 $W$ を

$$W_{ij}=x_j^{i-1} \qquad (1\leq i\leq n+1,\ 1\leq j\leq n)$$

で定めると、(iv) と同様に

$$H_{n+1}=WW^T$$

と分解できる。したがって

$$\operatorname{rank}H_{n+1} \leq\operatorname{rank}W \leq n<n+1$$

であるから、 $\det H_{n+1}=0$ である。