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京都大学 工学研究科 機械工学群 2023年8月実施 専門科目 3-3

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

原問題（2024年度、PDF 12・15ページ）

半径 RR の水平な半円形リング AB の B 端を固定する。断面は直径 d≪Rd\ll R の一様な中実円で、縦弾性係数 EE、横弾性係数 GG とする。変形は微小で自重を無視する。中心角 θ\theta は A で 00、B で π\pi とする。

  1. A に図の向きのねじりモーメント TAT_A のみを加えたとき、各断面の曲げモーメント M1(θ)M_1(\theta) とねじりモーメント T1(θ)T_1(\theta) を求める。正方向は明示すること。
  2. A に鉛直下向きの集中荷重 PAP_A のみを加えたとき、同じ符号規約で M2(θ),T2(θ)M_2(\theta),T_2(\theta) を求める。
  3. 1 の荷重条件で、A の鉛直下向き変位 δA\delta_A を求める。

半円形リングと荷重の方向

题目描述​

水平半圆杆半径为 RR，B 端固定，A 端自由；圆截面直径为 d≪Rd\ll R，材料参数为 E,GE,G。忽略自重，采用小变形。沿杆由 A 到 B 的中心角为 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi。分别求 A 端单独承受图示扭矩 TAT_A、竖直向下集中力 PAP_A 时的弯矩和扭矩，再求仅作用 TAT_A 时 A 端向下的位移。

Kai​

(1), (2)​

切断面より A 側の部分に働く内力モーメントについて、曲げは円の中心向き、ねじりは A から B に向かう接線方向を正とする。両荷重を同時に作用させ、各方向のモーメントのつり合いをとると

M+TAsin⁡θ+PARsin⁡θ=0,T−TAcos⁡θ+PAR(1−cos⁡θ)=0.M+T_A\sin\theta+P_AR\sin\theta=0,\qquad T-T_A\cos\theta+P_AR(1-\cos\theta)=0.

したがって

M1=−TAsin⁡θ,T1=TAcos⁡θ,M2=−PARsin⁡θ,T2=−PAR(1−cos⁡θ).\boxed{M_1=-T_A\sin\theta,\quad T_1=T_A\cos\theta}, \qquad \boxed{M_2=-P_AR\sin\theta,\quad T_2=-P_AR(1-\cos\theta)}.

(3)​

PAP_A を鉛直下向きの仮想荷重として用いる。断面二次モーメントと極断面二次モーメントは

I=πd464,J=πd432.I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}.

ひずみエネルギーに Castigliano の定理を適用する。

U=∫0π(M22EI+T22GJ)R dθ,U=\int_0^\pi\left(\frac{M^2}{2EI}+\frac{T^2}{2GJ}\right)R\,d\theta,
δA=∂U∂PA∣PA=0=TAR2EI∫0πsin⁡2θ dθ−TAR2GJ∫0πcos⁡θ(1−cos⁡θ) dθ=πTAR22(1EI+1GJ)=16TAR2d4(2E+1G).\begin{aligned} \delta_A &=\left.\frac{\partial U}{\partial P_A}\right|_{P_A=0}\\ &=\frac{T_AR^2}{EI}\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta -\frac{T_AR^2}{GJ}\int_0^\pi\cos\theta(1-\cos\theta)\,d\theta\\ &=\frac{\pi T_AR^2}{2}\left(\frac1{EI}+\frac1{GJ}\right) =\boxed{\frac{16T_AR^2}{d^4}\left(\frac2E+\frac1G\right)}. \end{aligned}
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