京都大学工学研究科機械工学群 2023年度数学問題2

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

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2-1

(1) 実変数 $x$ の実関数 $f(x)$ は常微分方程式

f\frac{df}{dx}=\frac{d^2f}{dx^2}

の有界な解で、 $f(0)=0$ 、 $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\mp1$ （複号同順）を満たす。 $d(f^2)/dx=2f\,df/dx$ に注意して $f(x)$ を具体的に求めよ。求解に際して $\lim_{x\to\pm\infty}df/dx=0$ としてよい。

(2) (1) の解を用いて $g(x)=af(a(x-b))+c$ とおく。ただし $a>0$ 、 $b,c$ は実定数である。 $g$ が

(g-c)\frac{dg}{dx}=\frac{d^2g}{dx^2}

を満たすことを示し、 $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)$ を求めよ。

2-2

実変数 $t,x$ の実関数 $u(t,x)$ に関する偏微分方程式

\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}

を考える。この方程式には $u(t,x)=V(\xi)$ 、 $\xi=x-wt$ （ $w$ は実定数）という形の有界な進行波解が存在する。以下では

u\to u_+\quad(x\to\infty),\qquad u\to u_-\quad(x\to-\infty),\qquad u_->u_+

を満たす進行波解を考える。

(1) $\partial u/\partial t$ を $V(\xi)$ を用いて表せ。

(2) 偏微分方程式を $V$ に対する常微分方程式に書き換えよ。

(3) $u(0,0)=(u_++u_-)/2$ のとき、 $V(\xi)$ を具体的に求めよ。また $w$ を $u_+,u_-$ で表せ。

题目描述

2-1：(1) 求有界实函数 $f$ ，满足 $ff'=f''$ 、 $f(0)=0$ 、 $f(+\infty)=-1$ 、 $f(-\infty)=1$ 。可使用 $f'(\pm\infty)=0$ 。(2) 令 $g(x)=af(a(x-b))+c$ ，其中 $a>0$ ， $b,c$ 为实常数。证明 $(g-c)g'=g''$ ，并求 $g(\pm\infty)$ 。

2-2：考虑 $u_t+uu_x=u_{xx}$ 的有界行波解 $u(t,x)=V(\xi)$ ， $\xi=x-wt$ ， $w$ 为实常数。要求 $V(+\infty)=u_+$ 、 $V(-\infty)=u_-$ ，且 $u_->u_+$ 。(1) 用 $V$ 表示 $u_t$ ；(2) 将偏微分方程改写为 $V$ 的常微分方程；(3) 若 $u(0,0)=(u_++u_-)/2$ ，求 $V(\xi)$ 及波速 $w$ 。

Kai

2-1 (1)

$(f^2-2f')'=0$ より $f^2-2f'=C$ 。無限遠の条件から $C=1$ なので

f'=\frac{f^2-1}{2}.

$f(0)=0$ の近傍で変数を分離して積分すると

\log\left|\frac{f-1}{f+1}\right|=x+C_1.

初期条件を用いて $(f-1)/(f+1)=-e^x$ 、したがって

\boxed{f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}=-\tanh\frac x2}.

この式は全実数で有界であり、指定された両端の極限も満たす。

2-1 (2)

$y=a(x-b)$ とすると $g'=a^2f'(y)$ 、 $g''=a^3f''(y)$ 。よって

(g-c)g'=a^3f(y)f'(y)=a^3f''(y)=g''.

$a>0$ より

\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=c-a,\qquad \lim_{x\to-\infty}g(x)=c+a}.

2-2 (1)

連鎖律により

\boxed{\frac{\partial u}{\partial t}=-wV'(\xi)}.

2-2 (2)

$u_x=V'$ 、 $u_{xx}=V''$ を代入すると

\boxed{(V-w)V'=V''}.

2-2 (3)

2-1 (2) と対応させ、 $c=w$ とおく。両端の条件から

w-a=u_+,\qquad w+a=u_-.

したがって

\boxed{w=\frac{u_-+u_+}{2}},\qquad a=\frac{u_--u_+}{2}>0.

$V(0)=w$ から平行移動の定数は $b=0$ 。よって

\boxed{V(\xi)=\frac{u_-+u_+}{2} -\frac{u_--u_+}{2}\tanh\left(\frac{u_--u_+}{4}\xi\right)}.

この解は左側の値 $u_-$ から右側の値 $u_+$ へ単調に減少する。

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2-1​

2-2​

题目描述​

Kai​

2-1 (1)​

2-1 (2)​

2-2 (1)​

2-2 (2)​

2-2 (3)​

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