京都大学工学研究科機械工学群 2022年8月実施数学問題2

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

2-1

(1) 実変数 $x$ の実関数 $f(x)$ は次の常微分方程式

f\frac{df}{dx}=\frac{d^2f}{dx^2},\tag{2.1}

の有界な解で、 $f(0)=0$ かつ $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\mp1$ （複号同順）であるとする。 $\dfrac{df^2}{dx}=2f\dfrac{df}{dx}$ の関係に注意して $f(x)$ を具体的に求めよ。なお、求解の際には $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{df}{dx}=0$ としてよい。

(2) 問い2-1 (1) の解 $f(x)$ を用いて $g(x)=af(a(x-b))+c$ とおく（ $a>0$ 、 $b,c$ はそれぞれ実定数）。 $g(x)$ が次の常微分方程式

(g-c)\frac{dg}{dx}=\frac{d^2g}{dx^2},\tag{2.2}

を満たすことを示せ。また、 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)$ の値を求めよ。

2-2

実変数 $t,x$ の実関数 $u(t,x)$ に対する次の偏微分方程式を考える。

\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.\tag{2.3}

この方程式には $u(t,x)=V(\xi)$ という形［ここで $\xi=x-wt$ （ $w$ は実定数）とおいた］で表される有界な解（進行波解とよぶ）があることが知られている。以下では、この進行波解で次の条件を満たすものを考える。

\begin{cases}u\to u_+&(x\to\infty),\\u\to u_-&(x\to-\infty).\end{cases}

ここで $u_+,u_-$ は $u_->u_+$ を満たす実定数である。

(1) $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ を $V(\xi)$ を用いて表せ。

(2) 式 (2.3) を $V(\xi)$ に対する常微分方程式に書き換えよ。

(3) $u(0,0)=\dfrac12(u_++u_-)$ のとき、 $V(\xi)$ を具体的に求めよ。また、 $w$ を $u_+$ および $u_-$ を用いて表せ。

题目描述

2-1

(1) 实变量 $x$ 的实函数 $f(x)$ 是下列常微分方程的有界解：

f\frac{df}{dx}=\frac{d^2f}{dx^2}.\qquad(2.1)

设 $f(0)=0$ 且 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\mp1$ （上下符号按顺序对应）。利用 $\dfrac{df^2}{dx}=2f\dfrac{df}{dx}$ 的关系，求 $f(x)$ 的具体表达式。求解时可设 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{df}{dx}=0$ 。

(2) 利用2-1 (1) 的解 $f(x)$ ，令 $g(x)=af(a(x-b))+c$ ，其中 $a>0$ ， $b,c$ 分别为实常数。证明 $g(x)$ 满足常微分方程

(g-c)\frac{dg}{dx}=\frac{d^2g}{dx^2},\qquad(2.2)

并求 $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)$ 。

2-2

考虑实变量 $t,x$ 的实函数 $u(t,x)$ 所满足的偏微分方程

\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.\qquad(2.3)

已知该方程存在形如 $u(t,x)=V(\xi)$ 的有界解，称为行波解，其中 $\xi=x-wt$ ， $w$ 为实常数。下面考虑满足下列条件的行波解：

\begin{cases}u\to u_+&(x\to\infty),\\u\to u_-&(x\to-\infty).\end{cases}

这里 $u_+,u_-$ 为满足 $u_->u_+$ 的实常数。

(1) 用 $V(\xi)$ 表示 $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ 。

(2) 将式 (2.3) 改写为关于 $V(\xi)$ 的常微分方程。

(3) 当 $u(0,0)=\dfrac12(u_++u_-)$ 时，求 $V(\xi)$ 的具体表达式，并用 $u_+,u_-$ 表示 $w$ 。

Kai

2-1 (1)

$(f^2-2f')'=0$ より $f^2-2f'=C$ 。無限遠の条件から $C=1$ なので

f'=\frac{f^2-1}{2}.

$f(0)=0$ の近傍で変数を分離して積分すると

\log\left|\frac{f-1}{f+1}\right|=x+C_1.

初期条件を用いて $(f-1)/(f+1)=-e^x$ 、したがって

\boxed{f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}=-\tanh\frac x2}.

この式は全実数で有界であり、指定された両端の極限も満たす。

2-1 (2)

$y=a(x-b)$ とすると $g'=a^2f'(y)$ 、 $g''=a^3f''(y)$ 。よって

(g-c)g'=a^3f(y)f'(y)=a^3f''(y)=g''.

$a>0$ より

\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=c-a,\qquad \lim_{x\to-\infty}g(x)=c+a}.

2-2 (1)

連鎖律により

\boxed{\frac{\partial u}{\partial t}=-wV'(\xi)}.

2-2 (2)

$u_x=V'$ 、 $u_{xx}=V''$ を代入すると

\boxed{(V-w)V'=V''}.

2-2 (3)

2-1 (2) と対応させ、 $c=w$ とおく。両端の条件から

w-a=u_+,\qquad w+a=u_-.

したがって

\boxed{w=\frac{u_-+u_+}{2}},\qquad a=\frac{u_--u_+}{2}>0.

$V(0)=w$ から平行移動の定数は $b=0$ 。よって

\boxed{V(\xi)=\frac{u_-+u_+}{2} -\frac{u_--u_+}{2}\tanh\left(\frac{u_--u_+}{4}\xi\right)}.

この解は左側の値 $u_-$ から右側の値 $u_+$ へ単調に減少する。

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2-1​

2-2​

题目描述​

Kai​

2-1 (1)​

2-1 (2)​

2-2 (1)​

2-2 (2)​

2-2 (3)​

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