京都大学工学研究科機械工学群 2014年8月実施機械力学 2

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

図2-1のように、柔軟で均質かつ一様な弦（単位長さ当たりの質量が $\rho$ ）が、 $x$ 軸の方向に張力 $T$ で張られている。弦の長さは $L$ で、その両端は固定されている。 $x$ 軸と直角方向に $y$ 軸があり、弦は $xy$ 平面内で定常的に振動している。時刻 $t$ における位置 $x$ の弦の変位 $y$ は、 $x$ および $t$ の2つの変数の関数になる。弦の振動は微小であり、張力 $T$ は変化しないものとする。以下の問いに答えよ。

原題の図2-1

2-1

弦の微小部分 $dx$ の両端に働く $y$ 方向の力をそれぞれ求めよ。

2-2

弦の変位 $y$ に関する運動方程式を導出し、次の形になることを示せ。ここで、 $c$ は正の定数である。

\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\tag{1}

2-3

この弦の変位 $y$ に関し、振動の波形を表す式を求めたい（ $y=0$ は除く）。

(1) 式 (1) は、次式で表される解を持つ。

y=(P\cos\alpha x+Q\sin\alpha x)(R\cos c\alpha t+S\sin c\alpha t)\tag{2}

ただし、 $P,Q,R,S$ および $\alpha$ は定数である。式 (2) を用い、弦の変位 $y$ に対して $P$ および $\alpha$ を定めよ。

(2) 弦の変位 $y$ に関し、2-3 (1) で得られた結果に基づき、解の重ね合わせを用いて、この振動の波形を表す最も一般的な式を求めよ。

2-4

音が1オクターブ高くなると、基本波の振動数（最も低い固有振動数）が倍になる。図2-2のように、楽器のピアノでは、鍵をたたくとハンマーが弦を打つことにより音がでる。いま、ある鍵をたたいたところ、その鍵より1オクターブ高い鍵に対応する弦も振動をはじめた。この現象が生じた理由を文章で説明せよ。

原題の図2-2

题目描述

如图2-1，一根柔软、均质且均匀的弦沿 $x$ 轴方向以张力 $T$ 张紧，单位长度质量为 $\rho$ 。弦长为 $L$ ，两端固定。 $y$ 轴垂直于 $x$ 轴，弦在 $xy$ 平面内作稳定振动。时刻 $t$ 、位置 $x$ 处的弦位移 $y$ 是 $x,t$ 的二元函数。假设振动微小，张力 $T$ 不变，回答以下问题。

2-1

分别求弦微元 $dx$ 两端所受的 $y$ 方向的力。

2-2

推导弦位移 $y$ 的运动方程，并证明它具有下列形式，其中 $c$ 为正常数。

\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}.\qquad(1)

2-3

求表示弦位移 $y$ 振动波形的表达式，不考虑 $y=0$ 。

(1) 式 (1) 有如下形式的解：

y=(P\cos\alpha x+Q\sin\alpha x)(R\cos c\alpha t+S\sin c\alpha t).\qquad(2)

其中 $P,Q,R,S,\alpha$ 为常数。利用式 (2)，针对弦位移 $y$ 确定 $P$ 与 $\alpha$ 。

(2) 根据2-3 (1) 的结果，利用解的叠加，求表示弦振动波形的最一般表达式。

2-4

音高升高一个八度时，基波频率（最低固有频率）变为原来的两倍。如图2-2，钢琴通过按键使琴槌敲击琴弦而发声。按下某个键后，比该键高一个八度的键所对应的琴弦也开始振动。用文字解释发生这一现象的原因。

Kai

2-1・2-2

弦の接線と $x$ 軸の角を $\theta(x,t)$ とする。微小振動では $\sin\theta\simeq\theta\simeq y_x$ なので

\begin{gathered} \boxed{F_{y,\mathrm L}=-Ty_x(x,t)},\\ \boxed{F_{y,\mathrm R}=Ty_x(x+dx,t) \simeq T(y_x+y_{xx}dx)}. \end{gathered}

微小区間の質量は $\rho\,dx$ 。運動方程式は

\rho\,dx\,y_{tt}=F_{y,\mathrm L}+F_{y,\mathrm R}=Ty_{xx}\,dx.

よって

\boxed{y_{tt}=\frac{T}{\rho}y_{xx}=c^2y_{xx}},\qquad \boxed{c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}}.

2-3 (1)

$y(0,t)=0$ より $P=0$ 。非自明な解について $y(L,t)=0$ より $\sin\alpha L=0$ である。正の波数を選べば

\boxed{P=0,\qquad \alpha_n=\frac{n\pi}{L}\quad(n=1,2,\ldots)}.

2-3 (2)

\boxed{y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left[A_n\cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) +B_n\sin\left(\frac{cn\pi t}{L}\right)\right] \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}.

$A_n,B_n$ は初期条件で定まる。 $y(x,0)=f(x)$ 、 $y_t(x,0)=g(x)$ なら、正弦関数の直交性より

\begin{gathered} A_n=\frac2L\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,\\ B_n=\frac2{cn\pi}\int_0^L g(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx. \end{gathered}

2-4

弦の固有振動数は $f_n=nc/(2L)$ 。打撃された弦の振動には基音 $f_1$ とともに第2倍音 $2f_1$ が含まれる。この成分が響板や空気を介して他の弦に伝わると、基本振動数が $2f_1$ の1オクターブ上の弦が共鳴する。

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Description​

2-1​

2-2​

2-3​

2-4​

题目描述​

Kai​

2-1・2-2​

2-3 (1)​

2-3 (2)​