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京都大学 工学研究科 機械工学群 2014年度 機械力学 1-2

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

日本語題面​

重力加速度 gg のもとで、図の振り子の紙面内運動を考える。角度 φ\varphi は鉛直下向きから右向きに測る。ばね定数を kk、支点 O の右向き変位を xx とし、x=0x=0 でばねは自然長である。

  1. 長さ ll の質量を無視できる棒の先端に質点 mm を付け、支点 O を固定した単振り子について、Newton の運動方程式から微小振動の周期 T1T_1 を求めよ。
  2. Lagrange 方程式を用いて同じ運動方程式を導け。
  3. 単振り子の支点 O を、水平方向にのみ伸縮するばねで支える。角度を近似せずに Lagrange 方程式から運動方程式を導き、線形化して微小振動の周期 T2T_2 を求めよ。支点の質量は無視する。
  4. (3) の単振り子を、質量 mm、O から重心 G までの距離 hh、O まわりの慣性モーメント II の剛体振り子に替える。角度を近似せずに運動方程式を導き、線形化して固有角振動数を求め、振動の様子を簡潔に説明せよ。

固定支点・ばね支点の単振り子と剛体振り子

题目描述​

重力加速度为 gg，振动位于图示平面内，摆角 φ\varphi 从竖直向下方向向右量取。先对长 ll、末端质量 mm 的无质量杆单摆，分别用牛顿方程和拉格朗日方程求微振动周期。再把无质量支点连接至水平弹簧 kk，用支点水平位移 xx（自然长时为零）与摆角建立非线性运动方程，线性化求周期。最后替换为质量 mm、支点至重心距离 hh、支点转动惯量 II 的复摆，求非线性方程、固有角频率及振型。

Kai​

(1)​

接線方向の運動方程式は

mlφ¨=−mgsin⁡φ.ml\ddot\varphi=-mg\sin\varphi.

∣φ∣≪1|\varphi|\ll1 では φ¨+(g/l)φ=0\ddot\varphi+(g/l)\varphi=0 だから

T1=2πlg.\boxed{T_1=2\pi\sqrt{\frac lg}}.

(2)​

T=12ml2φ˙2,U=mgl(1−cos⁡φ).T=\frac12ml^2\dot\varphi^2,\qquad U=mgl(1-\cos\varphi).

L=T−U\mathcal L=T-U を用いると

ddt∂L∂φ˙−∂L∂φ=ml2φ¨+mglsin⁡φ=0,\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial\mathcal L}{\partial\varphi} =ml^2\ddot\varphi+mgl\sin\varphi=0,

となり、(1) と一致する。

(3)​

質点の座標を (x+lsin⁡φ,−lcos⁡φ)(x+l\sin\varphi,-l\cos\varphi) とすれば

L=12mx˙2+mlx˙φ˙cos⁡φ+12ml2φ˙2−12kx2−mgl(1−cos⁡φ).\mathcal L=\frac12m\dot x^2+ml\dot x\dot\varphi\cos\varphi+\frac12ml^2\dot\varphi^2-\frac12kx^2-mgl(1-\cos\varphi).

x,φx,\varphi に関する Lagrange 方程式から

mx¨+ml(φ¨cos⁡φ−φ˙2sin⁡φ)+kx=0,\boxed{m\ddot x+ml(\ddot\varphi\cos\varphi-\dot\varphi^2\sin\varphi)+kx=0},
x¨cos⁡φ+lφ¨+gsin⁡φ=0.\boxed{\ddot x\cos\varphi+l\ddot\varphi+g\sin\varphi=0}.

線形化すると

mx¨+mlφ¨+kx=0,x¨+lφ¨+gφ=0.m\ddot x+ml\ddot\varphi+kx=0,\qquad \ddot x+l\ddot\varphi+g\varphi=0.

両式の差から kx=mgφkx=mg\varphi。したがって

(mg+kl)φ¨+kgφ=0,T2=2πmg+klkg.(mg+kl)\ddot\varphi+kg\varphi=0,\qquad \boxed{T_2=2\pi\sqrt{\frac{mg+kl}{kg}}}.

(4)​

重心まわりの慣性モーメントは IG=I−mh2>0I_G=I-mh^2>0。重心の並進と重心まわりの回転を加えると

L=12mx˙2+mhx˙φ˙cos⁡φ+12Iφ˙2−12kx2−mgh(1−cos⁡φ).\mathcal L=\frac12m\dot x^2+mh\dot x\dot\varphi\cos\varphi+\frac12I\dot\varphi^2-\frac12kx^2-mgh(1-\cos\varphi).

よって非線形の運動方程式は

mx¨+mh(φ¨cos⁡φ−φ˙2sin⁡φ)+kx=0,\boxed{m\ddot x+mh(\ddot\varphi\cos\varphi-\dot\varphi^2\sin\varphi)+kx=0},
Iφ¨+mhx¨cos⁡φ+mghsin⁡φ=0.\boxed{I\ddot\varphi+mh\ddot x\cos\varphi+mgh\sin\varphi=0}.

線形化し、x=Xcos⁡ωt, φ=Φcos⁡ωtx=X\cos\omega t,\ \varphi=\Phi\cos\omega t を代入すると

(k−mω2−mhω2−mhω2mgh−Iω2)(XΦ)=0.\begin{pmatrix}k-m\omega^2&-mh\omega^2\\-mh\omega^2&mgh-I\omega^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\\Phi\end{pmatrix}=\boldsymbol0.

係数行列の行列式をゼロとおけば

m(I−mh2)ω4−(kI+m2gh)ω2+kmgh=0.m(I-mh^2)\omega^4-(kI+m^2gh)\omega^2+kmgh=0.

したがって

ω±=kI+m2gh ±(kI−m2gh)2+4km3gh32m(I−mh2),ω−<ω+.\boxed{\omega_{\pm}=\sqrt{\frac{kI+m^2gh\ \pm\sqrt{(kI-m^2gh)^2+4km^3gh^3}}{2m(I-mh^2)}}},\qquad \omega_-<\omega_+.

各モードの振幅比は

XΦ=mhω±2k−mω±2.\boxed{\frac{X}{\Phi}=\frac{mh\omega_\pm^2}{k-m\omega_\pm^2}}.

ω−2<k/m<ω+2\omega_-^2<k/m<\omega_+^2 より、低次モードでは支点変位 xx と角変位 φ\varphi が同位相、高次モードでは逆位相になる。一般の微小運動はこの二つの固有振動の重ね合わせである。

Reference​

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