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京都大学 工学研究科 先端化学専攻群 2022年8月実施 化学II 物理化学 問1

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

図1は 11 モルの理想気体が可逆的に A→B→C→D→A と循環するサイクルである。以下の問いに答えよ。ただし、RR は気体定数、CVC_V および CpC_p はそれぞれこの気体の定容熱容量および定圧熱容量であり、温度に対して一定である。

図1 循環サイクルにおける圧力p–体積Vの関係

(1) このサイクルに関して、次の (a)～(d) の物理量を温度 T1,T2,T3,T4T_1,T_2,T_3,T_4、および R,CVR,C_V のうち必要なものを用いて表せ。

(a) 過程 A→B における外界にした仕事

(b) 過程 B→C における外界にした仕事

(c) 過程 B→C における外界から得た熱量

(d) 過程 B→C におけるエントロピー変化

(2) 過程 A→B において、下記の関係が成り立つことを示せ。ただし、γ=Cp/CV\gamma=C_p/C_V である。また、必要があれば、Cp−CV=RC_p-C_V=R を使用してもよい。

T2T1=(V1V2)γ−1(i)\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}\tag{i}

(3) 一般に、熱機関の効率 η\eta は、

η=系のした仕事系に加えられた熱量(ii)\eta=\frac{\text{系のした仕事}}{\text{系に加えられた熱量}}\tag{ii}

で定義される。このサイクルの効率を V1,V2,γV_1,V_2,\gamma を用いて表せ。

题目描述​

图1为 11 摩尔理想气体可逆地沿 A→B→C→D→A 循环的过程。回答以下问题。其中 RR 为气体常数，CV,CpC_V,C_p 分别为该气体的定容热容和定压热容，均不随温度变化。

图1 循环中的压强p与体积V的关系

(1) 对于此循环，用温度 T1,T2,T3,T4T_1,T_2,T_3,T_4 及 R,CVR,C_V 中所需的量表示下列物理量。

(a) 过程 A→B 中气体对外做的功。

(b) 过程 B→C 中气体对外做的功。

(c) 过程 B→C 中气体从外界吸收的热量。

(d) 过程 B→C 中的熵变。

(2) 证明过程 A→B 满足下列关系，其中 γ=Cp/CV\gamma=C_p/C_V。必要时可使用 Cp−CV=RC_p-C_V=R。

T2T1=(V1V2)γ−1(i)\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}\tag{i}

(3) 一般地，热机效率 η\eta 定义为

η=系统所做的功向系统输入的热量.(ii)\eta=\frac{\text{系统所做的功}}{\text{向系统输入的热量}}.\tag{ii}

用 V1,V2,γV_1,V_2,\gamma 表示此循环的效率。

Kai​

気体が外界にする仕事を正とし、熱力学第1法則を ΔU=Q−W\Delta U=Q-W と書く。

(1)​

理想気体について ΔU=CVΔT\Delta U=C_V\Delta T である。

(a) A→B は断熱過程なので

WAB=CV(T1−T2).\boxed{W_{\mathrm{AB}}=C_V(T_1-T_2)}.

(b) B→C では dV=0dV=0 なので

WBC=0.\boxed{W_{\mathrm{BC}}=0}.

(c) 第1法則より

QBC=CV(T3−T2).\boxed{Q_{\mathrm{BC}}=C_V(T_3-T_2)}.

(d) 可逆定容過程では dS=CV dT/TdS=C_V\,dT/T であるから

ΔSBC=CVln⁡T3T2.\boxed{\Delta S_{\mathrm{BC}}=C_V\ln\frac{T_3}{T_2}}.

(2)​

可逆断熱過程では CV dT=−p dV=−RT dV/VC_V\,dT=-p\,dV=-RT\,dV/V。したがって

CVln⁡T2T1=−Rln⁡V2V1.C_V\ln\frac{T_2}{T_1}=-R\ln\frac{V_2}{V_1}.

R/CV=γ−1R/C_V=\gamma-1 より

T2T1=(V1V2)γ−1.\boxed{\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}}.

(3)​

C→D の仕事は CV(T3−T4)C_V(T_3-T_4)、D→A の仕事は 00 である。よって

η=CV(T1−T2+T3−T4)CV(T3−T2)=1−T4−T1T3−T2.\begin{gathered} \eta=\frac{C_V(T_1-T_2+T_3-T_4)}{C_V(T_3-T_2)}\\ =1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}. \end{gathered}

r=V1/V2r=V_1/V_2 とおくと、二つの断熱過程から T2=rγ−1T1T_2=r^{\gamma-1}T_1、T3=rγ−1T4T_3=r^{\gamma-1}T_4。したがって

η=1−r1−γ=1−(V2V1)γ−1.\boxed{\eta=1-r^{1-\gamma}=1-\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}}.

Reference​

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