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京都大学 工学研究科 先端化学専攻群 2023年度 化学II 物理化学 問1

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

図1は、1モルの理想気体が可逆的に A→B→C→D→A\mathrm A\to\mathrm B\to\mathrm C\to\mathrm D\to\mathrm A と循環するサイクルである。RR は気体定数、CV,CpC_V,C_p はそれぞれこの気体の定容熱容量、定圧熱容量であり、温度に対して一定である。

図1 循環サイクルにおける圧力と体積の関係

状態 A, B, C, D はそれぞれ (p1,V1,T1)(p_1,V_1,T_1)、(p2,V2,T2)(p_2,V_2,T_2)、(p3,V2,T3)(p_3,V_2,T_3)、(p4,V1,T4)(p_4,V_1,T_4) である。A→B と C→D は断熱過程、B→C と D→A は定容過程であり、V1>V2V_1>V_2 である。

(1) 次の量を T1,T2,T3,T4,R,CVT_1,T_2,T_3,T_4,R,C_V のうち必要なものを用いて表せ。

  • (a) A→B において外界にした仕事。
  • (b) B→C において外界にした仕事。
  • (c) B→C において外界から得た熱量。
  • (d) B→C におけるエントロピー変化。

(2) γ=Cp/CV\gamma=C_p/C_V とするとき、A→B において

T2T1=(V1V2)γ−1\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}

が成り立つことを示せ。必要ならば Cp−CV=RC_p-C_V=R を用いてよい。

(3) 熱機関の効率は η=(系のした仕事)/(系に加えられた熱量)\eta=(\text{系のした仕事})/(\text{系に加えられた熱量}) と定義される。このサイクルの効率を V1,V2,γV_1,V_2,\gamma で表せ。

题目描述​

1 mol 理想气体按图1沿 A→B→C→D→A 做可逆循环。四个状态分别为 (p1,V1,T1)(p_1,V_1,T_1)、(p2,V2,T2)(p_2,V_2,T_2)、(p3,V2,T3)(p_3,V_2,T_3)、(p4,V1,T4)(p_4,V_1,T_4)。A→B、C→D 为绝热过程，B→C、D→A 为定容过程，V1>V2V_1>V_2。定容、定压热容 CV,CpC_V,C_p 均与温度无关，气体常数为 RR。

(1) 用各状态的温度和 R,CVR,C_V 中必要的量表示：(a) A→B 对外做功；(b) B→C 对外做功；(c) B→C 吸热；(d) B→C 的熵变。

(2) 令 γ=Cp/CV\gamma=C_p/C_V，证明 T2/T1=(V1/V2)γ−1T_2/T_1=(V_1/V_2)^{\gamma-1}，可使用 Cp−CV=RC_p-C_V=R。

(3) 用 V1,V2,γV_1,V_2,\gamma 表示循环效率，即净输出功与吸入热量的比值。

Kai​

気体が外界にする仕事を正とし、熱力学第1法則を ΔU=Q−W\Delta U=Q-W と書く。

(1)​

理想気体について ΔU=CVΔT\Delta U=C_V\Delta T である。

(a) A→B は断熱過程なので

WAB=CV(T1−T2).\boxed{W_{\mathrm{AB}}=C_V(T_1-T_2)}.

(b) B→C では dV=0dV=0 なので

WBC=0.\boxed{W_{\mathrm{BC}}=0}.

(c) 第1法則より

QBC=CV(T3−T2).\boxed{Q_{\mathrm{BC}}=C_V(T_3-T_2)}.

(d) 可逆定容過程では dS=CV dT/TdS=C_V\,dT/T であるから

ΔSBC=CVln⁡T3T2.\boxed{\Delta S_{\mathrm{BC}}=C_V\ln\frac{T_3}{T_2}}.

(2)​

可逆断熱過程では CV dT=−p dV=−RT dV/VC_V\,dT=-p\,dV=-RT\,dV/V。したがって

CVln⁡T2T1=−Rln⁡V2V1.C_V\ln\frac{T_2}{T_1}=-R\ln\frac{V_2}{V_1}.

R/CV=γ−1R/C_V=\gamma-1 より

T2T1=(V1V2)γ−1.\boxed{\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}}.

(3)​

C→D の仕事は CV(T3−T4)C_V(T_3-T_4)、D→A の仕事は 00 である。よって

η=CV(T1−T2+T3−T4)CV(T3−T2)=1−T4−T1T3−T2.\eta=\frac{C_V(T_1-T_2+T_3-T_4)}{C_V(T_3-T_2)} =1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}.

r=V1/V2r=V_1/V_2 とおくと、二つの断熱過程から T2=rγ−1T1T_2=r^{\gamma-1}T_1、T3=rγ−1T4T_3=r^{\gamma-1}T_4。したがって

η=1−r1−γ=1−(V2V1)γ−1.\boxed{\eta=1-r^{1-\gamma}=1-\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}}.

Reference​

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