京都工芸繊維大学 工芸科学研究科 情報工学専攻・機械物理学専攻・機械設計学専攻 2023年度 第I期 数学 問題1

标签：

• 京都工艺纤维大学
• 线性无关性
• 基与维数

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

情報工学専攻と機械物理学専攻・機械設計学専攻に共通する問題である。

実2次正方行列

$$A=\begin{pmatrix}2&0\\3&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$$

が $AB=BA$ を満たすとする。また、$E$ は2次単位行列を表す。(2)、(3) では実2次正方行列の全体 $M_2(\mathbb R)$ は、行列の通常の和と実数倍で実線形空間をなすことを用いよ。

1. $q$ の値を求めよ。また、$p=s$ が成り立つことを示せ。
2. $M_2(\mathbb R)$ において、$B$ を $A,E$ の一次結合で表せ。
3. $M_2(\mathbb R)$ において、$A,E$ は一次独立であるかどうか調べよ。

题目描述

本题为信息工学、机械物理学及机械设计学专攻的共通题。

设实二阶方阵 $A=\begin{pmatrix}2&0\\3&2\end{pmatrix}$ 与 $B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ 满足 $AB=BA$，$E$ 为二阶单位矩阵。所有实二阶方阵组成的集合 $M_2(\mathbb R)$ 在通常的矩阵加法和实数数乘下构成实线性空间。

1. 求 $q$，并证明 $p=s$。
2. 将 $B$ 表示为 $A,E$ 的线性组合。
3. 判断 $A,E$ 是否线性无关。

Kai

(1)

両辺を計算すると、

$$AB=\begin{pmatrix}2p&2q\\3p+2r&3q+2s\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2p+3q&2q\\2r+3s&2s\end{pmatrix}.$$

$(1,1)$ 成分の一致から $3q=0$、$(2,1)$ 成分の一致から $3p+2r=2r+3s$ である。したがって

$$\boxed{q=0,\qquad p=s}.$$

(2)

(1) より $B=\begin{pmatrix}p&0\\r&p\end{pmatrix}$ であり、$A-2E=\begin{pmatrix}0&0\\3&0\end{pmatrix}$ なので、

$$B=pE+\frac r3(A-2E) =\boxed{\frac r3A+\left(p-\frac{2r}3\right)E}.$$

(3)

$cA+dE=0$ とすると、

$$\begin{pmatrix}2c+d&0\\3c&2c+d\end{pmatrix}=0.$$

$(2,1)$ 成分より $c=0$、さらに対角成分より $d=0$ である。したがって $\boxed{A,E\text{ は一次独立}}$ である。

Reference

• 大学公式問題：情報工学専攻（2022年8月実施、PDF 2ページ）
• 大学公式問題：機械物理学専攻・機械設計学専攻（2022年8月実施、PDF 2ページ）
• miyake：情報工学専攻の同一問題の解答
• miyake：機械物理学専攻・機械設計学専攻の対応ページ