京都工芸繊維大学工芸科学研究科情報工学専攻・機械物理学専攻・機械設計学専攻 2022年8月実施第I期数学問題1

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

実 $2$ 次正方行列

A=\begin{pmatrix}2&0\\3&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}

が $AB=BA$ を満たすとする。また、 $E$ は $2$ 次単位行列を表す。ただし、(2)、(3) では実 $2$ 次正方行列の全体 $M_2(\mathbb R)$ は行列の通常の和と実数倍で実線形空間をなすことを用いよ。

(1) $q$ の値を求めよ。また、 $p=s$ が成り立つことを示せ。

(2) $M_2(\mathbb R)$ において、 $B$ を $A,E$ の一次結合で表せ。

(3) $M_2(\mathbb R)$ において、 $A,E$ は一次独立であるかどうか調べよ。

设实二阶方阵

A=\begin{pmatrix}2&0\\3&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}

满足 $AB=BA$ ， $E$ 为二阶单位矩阵。在 (2)、(3) 中，可以使用以下事实：所有实二阶方阵组成的集合 $M_2(\mathbb R)$ 在通常的矩阵加法和实数数乘下构成实线性空间。

(1) 求 $q$ 的值，并证明 $p=s$ 。

(2) 在 $M_2(\mathbb R)$ 中，将 $B$ 表示为 $A,E$ 的线性组合。

(3) 在 $M_2(\mathbb R)$ 中，判断 $A,E$ 是否线性无关。

両辺を計算すると、

\begin{gathered} AB=\begin{pmatrix}2p&2q\\3p+2r&3q+2s\end{pmatrix},\\ BA=\begin{pmatrix}2p+3q&2q\\2r+3s&2s\end{pmatrix}. \end{gathered}

$(1,1)$ 成分の一致から $3q=0$ 、 $(2,1)$ 成分の一致から $3p+2r=2r+3s$ である。したがって

\boxed{q=0,\qquad p=s}.

(1) より $B=\begin{pmatrix}p&0\\r&p\end{pmatrix}$ であり、 $A-2E=\begin{pmatrix}0&0\\3&0\end{pmatrix}$ なので、

\begin{gathered} B=pE+\frac r3(A-2E)\\ =\boxed{\frac r3A+\left(p-\frac{2r}3\right)E}. \end{gathered}

$cA+dE=0$ とすると、

\begin{pmatrix}2c+d&0\\3c&2c+d\end{pmatrix}=0.

$(2,1)$ 成分より $c=0$ 、さらに対角成分より $d=0$ である。したがって $\boxed{A,E\text{ は一次独立}}$ である。