神戸大学 システム情報学研究科 2025年度 第一期 数学 3

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• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Wronskian
• Reduction-of-Order

Author

祭音Myyura

Description

独立変数 $x$，従属変数 $y$ に関する微分方程式

$$\begin{align} y'' + a(x)y' + b(x)y = 0 \tag{*} \end{align}$$

の二つの解 $y=y_1(x),y_2(x)$ に対し，ロンスキアン $W(x)$ を次式で定義する：

$$W(x)= \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix}$$

(1) $W(x)$ が微分方程式

$$W' = -a(x)W$$

を満たすことを示せ。

(2) $x \geq 0$ とする。$a(x), b(x)$ および微分方程式 $(*)$ の解の一つ $y_1(x)$ を

$$a(x)=-\frac{3x+4}{3x+1},\qquad b(x)=-\frac{6x+5}{3x+1},\qquad y_1(x)=e^{-x}$$

で与える。また $y_2(0)=0,\ y_2'(0)=1$ とする。$W(x)$ と $y_2(x)$ を求めよ。

题目描述

对关于自变量 $x$、因变量 $y$ 的微分方程

$$y''+a(x)y'+b(x)y=0 \tag{*}$$

的两个解 $y_1(x),y_2(x)$，定义 Wronskian

$$W(x)= \begin{vmatrix} y_1(x)&y_2(x)\\ y_1'(x)&y_2'(x) \end{vmatrix}.$$

1. 证明 $W(x)$ 满足

   $$W'=-a(x)W.$$

2. 设 $x\geq0$，

   $$a(x)=-\frac{3x+4}{3x+1},\qquad b(x)=-\frac{6x+5}{3x+1},$$

   且方程 $(*)$ 的一个解为

   $$y_1(x)=e^{-x}.$$

   另一解满足

   $$y_2(0)=0,\qquad y_2'(0)=1.$$

   求 $W(x)$ 与 $y_2(x)$。

考点

• Wronskian 与 Abel 恒等式：对行列式求导并用原微分方程消去二阶导数。
• 一阶线性方程：由初始 Wronskian 解 $W'=-aW$。
• 降阶法：已知一个非零解时，利用 $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ 建立并求解 $y_2$ 的一阶方程。

Kai

(1)

$$W(x)=y_1y_2'-y_1'y_2$$

なので

$$W'(x) = y_1'y_2' + y_1y_2'' - y_1''y_2 - y_1'y_2' = y_1y_2'' - y_1''y_2.$$

微分方程式 $(*)$ から

$$y_j'' = -a(x)y_j' - b(x)y_j \quad (j=1,2)$$

だから

$$\begin{aligned} W' &= y_1(-a y_2' - b y_2) - (-a y_1' - b y_1)y_2 \\ &= -a(y_1y_2' - y_1'y_2) \\ &= -a(x)W. \end{aligned}$$

したがって $W'=-a(x)W$ が示された。

(2)

まず (W(x))

(1) より

$$W'=-aW,\qquad a(x)=-\frac{3x+4}{3x+1}.$$

したがって

$$\frac{W'}{W}=-a(x)=\frac{3x+4}{3x+1}.$$

積分して

$$\int \frac{W'}{W}dx = \int \frac{3x+4}{3x+1}dx \quad\Rightarrow\quad \ln W = x+\ln(3x+1)+C.$$

よって

$$W(x)=C e^{x}(3x+1).$$

初期条件から定数 $C$ を決める。 $x=0$ のとき

$$W(0)= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ -1& 1 \end{vmatrix} =1.$$

一方

$$W(0)=C e^{0}(3\cdot 0+1)=C.$$

ゆえに $C=1$ で

$$\boxed{W(x)=e^{x}(3x+1)}.$$

次に $y_2(x)$

ロンスキアンの定義

$$W = y_1y_2' - y_1'y_2$$

に $y_1=e^{-x},\ y_1'=-e^{-x},\ W=e^{x}(3x+1)$ を代入すると

$$e^{-x}y_2' - (-e^{-x})y_2 = e^{-x}(y_2'+y_2) = e^{x}(3x+1).$$

両辺に $e^{x}$ を掛けて

$$y_2' + y_2 = e^{2x}(3x+1).$$

これは一次線形微分方程式。解いていく：

$$y_2' + y_2 = e^{2x}(3x+1).$$

左辺の積分因子は $e^{x}$ なので

$$(e^{x}y_2)' = e^{x}e^{2x}(3x+1)=e^{3x}(3x+1).$$

積分すると

$$e^{x}y_2 = \int e^{3x}(3x+1)dx + C = x e^{3x} + C,$$

よって

$$y_2(x) = x e^{2x} + C e^{-x}.$$

初期条件 $y_2(0)=0$ から

$$0 = 0\cdot e^{0} + C e^{0} \Rightarrow C=0,$$

したがって

$$\boxed{y_2(x)=x e^{2x}}.$$

（このとき $y_2'(x)=e^{2x}(2x+1)$ なので $y_2'(0)=1$ も満たしている。）