神戸大学 システム情報学研究科 2025年度 第一期 数学 3

Author

祭音Myyura

Description

独立変数 ，従属変数 に関する微分方程式

の二つの解 に対し，ロンスキアン を次式で定義する：

(1) が微分方程式

を満たすことを示せ。

(2) とする。 および微分方程式 の解の一つ を

で与える。また とする。 と を求めよ。

Kai

(1)

なので

微分方程式 から

だから

したがって が示された。

(2)

まず (W(x))

(1) より

したがって

積分して

よって

初期条件から定数 を決める。 のとき

一方

ゆえに で

次に

ロンスキアンの定義

に を代入すると

両辺に を掛けて

これは一次線形微分方程式。解いていく：

左辺の積分因子は なので

積分すると

よって

初期条件 から

したがって

（このとき なので も満たしている。）