神戸大学 システム情報学研究科 2025年度 第一期 数学 2

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Author

祭音Myyura

Description

複素関数 $f(z)=e^{z/4},\ g(z)=e^{z}+1$ を考える。 また，$R$ を正の実定数とし，複素平面上の始点 $-R$ から終点 $R$ に至る線分を $C_1$，始点 $R$ から終点 $R+2\pi i$ に至る線分を $C_2$， 始点 $R+2\pi i$ から終点 $-R+2\pi i$ に至る線分を $C_3$，始点 $-R+2\pi i$ から終点 $-R$ に至る線分を $C_4$ とする。 そして $C=C_1\cup C_2\cup C_3\cup C_4$ とおく（反時計回りの長方形経路）。

(1) $g(z)=0$ を満たす複素数をすべて求めよ。

(2) (1) で求めた複素数が $\frac{f(z)}{g(z)}$ の $1$ 位の極であることを用いて，複素積分 $\int_C \frac{f(z)}{g(z)}dz$ の値を求めよ。

(3) $\lim_{R\to\infty}\int_{C_2} \frac{f(z)}{g(z)}dz=0$ および $\lim_{R\to\infty}\int_{C_4} \frac{f(z)}{g(z)} dz=0$ を示せ。

(4) (2) と (3) の結果を用いて，積分 $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{x/4}}{e^x+1} dx$ の値を求めよ。

题目描述

考虑复函数

$$f(z)=e^{z/4},\qquad g(z)=e^z+1.$$

令 $R>0$。在复平面上定义四条有向线段：

• $C_1$：从 $-R$ 到 $R$；
• $C_2$：从 $R$ 到 $R+2\pi i$；
• $C_3$：从 $R+2\pi i$ 到 $-R+2\pi i$；
• $C_4$：从 $-R+2\pi i$ 到 $-R$。

令

$$C=C_1\cup C_2\cup C_3\cup C_4,$$

即取逆时针方向的长方形闭路。

1. 求全部满足 $g(z)=0$ 的复数。

2. 利用第 1 问所得零点都是 $f(z)/g(z)$ 的一阶极点，计算

   $$\int_C\frac{f(z)}{g(z)}\,dz.$$

3. 证明

   $$\lim_{R\to\infty} \int_{C_2}\frac{f(z)}{g(z)}\,dz=0,$$
   $$\lim_{R\to\infty} \int_{C_4}\frac{f(z)}{g(z)}\,dz=0.$$

4. 利用第 2、3 问求实积分

   $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{x/4}}{e^x+1}\,dx.$$

考点

• 复指数方程与极点：求 $e^z=-1$ 的周期解，并判断简单零点对应一阶极点。
• 留数定理：选取高度 $2\pi$ 的矩形路径，计算路径内部极点的留数。
• 竖边积分估计：分别在右、左半平面控制指数函数大小，证明边界贡献消失。
• 周期平移与实积分：比较 $C_1,C_3$ 上的积分，利用 $f(z+2\pi i)$ 的相位因子求目标积分。

Kai

(1)

$e^{z}+1=0\iff e^{z}=-1=e^{i(2k+1)\pi}\ (k\in\mathbb Z)$。 指数関数の周期性より

$$\boxed{z=(2k+1)\pi i\quad(k\in\mathbb Z), } .$$

(2)

(1) の各点は $g(z)$ の単純零点なので，$\frac{f}{g}$ はそこで $1$ 位の極をもつ。 長方形領域 $0<\text{Im} z<2\pi$ に含まれる極は $z_0=\pi i$ のみ。

単純零点 $z_0$ における留数は

$$\operatorname{Res}\left(\frac{f}{g},z_0\right)=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)} =\frac{e^{z_0/4}}{e^{z_0}}=e^{-3z_0/4}.$$

ゆえに

$$\int_C \frac{f(z)}{g(z)} dz =2\pi i e^{-3\pi i/4}. \tag{*}$$

(3)

$C_2:\ z=R+iy\ (0\le y\le 2\pi)$ とおくと

$$\left|\frac{f(z)}{g(z)}\right| =\frac{|e^{R/4}e^{iy/4}|}{|e^{R}e^{iy}+1|} \le \frac{e^{R/4}}{e^{R}-1} =O(e^{-3R/4}).$$

$C_2$ の長さは $2\pi$ なので $\int_{C_2}\frac{f}{g} dz\to 0 \ (R \to \infty)$。

同様に $C_4:\ z=-R+iy$ では

$$\left|\frac{f(z)}{g(z)}\right| =\frac{e^{-R/4}}{|e^{-R}e^{iy}+1|} \leq \frac{e^{-R/4}}{1 - e^{-R}} \to 0 \ (R \to \infty),$$

よって $\int_{C_4}\frac{f}{g} dz\to 0 \ (R \to \infty)$。

(4)

経路積分を $4$ 辺に分ける。

$C_1:\ z=x\ (-R\le x\le R)$ では

$$\int_{C_1}\frac{f}{g}dz=\int_{-R}^{R}\frac{e^{x/4}}{e^x+1}dx=:I_R.$$

$C_3:\ z=x+2\pi i\ (R\to -R)$。$dz=dx$ かつ向きは逆なので

$$\int_{C_3}\frac{f}{g}dz =-\int_{-R}^{R}\frac{e^{(x+2\pi i)/4}}{e^{x+2\pi i}+1}dx =-i\int_{-R}^{R}\frac{ e^{x/4}}{e^{x}+1}dx =-iI_R,$$

(3) より $\int_{C_2}\to0,\ \int_{C_4}\to0$。したがって

$$\int_C\frac{f}{g}dz =\lim_{R\to\infty}\bigl(I_R- i I_R\bigr) =(1-i)I, \quad I:=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{x/4}}{e^x+1}dx .$$

これと (★) を等置すると

$$(1-i)I =2\pi ie^{-3\pi i/4} =2\pi i\cdot \frac{-1-i}{\sqrt2} =\sqrt2\pi(1-i).$$

両辺を $1-i$ で割って

$$\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{x/4}}{e^x+1}dx =\sqrt{2}\pi }.$$