神戸大学 システム情報学研究科 2025年度 第一期 数学 2

Author

祭音Myyura

Description

複素関数 を考える。 また， を正の実定数とし，複素平面上の始点 から終点 に至る線分を ，始点 から終点 に至る線分を ， 始点 から終点 に至る線分を ，始点 から終点 に至る線分を とする。 そして とおく（反時計回りの長方形経路）。

(1) を満たす複素数をすべて求めよ。

(2) (1) で求めた複素数が の 位の極であることを用いて，複素積分 の値を求めよ。

(3) および を示せ。

(4) (2) と (3) の結果を用いて，積分 の値を求めよ。

Kai

(1)

。 指数関数の周期性より

(2)

(1) の各点は の単純零点なので， はそこで 位の極をもつ。 長方形領域 に含まれる極は のみ。

単純零点 における留数は

ゆえに

(3)

とおくと

の長さは なので 。

同様に では

よって 。

(4)

経路積分を 辺に分ける。

では

。 かつ向きは逆なので

(3) より 。したがって

これと (★) を等置すると

両辺を で割って