神戸大学 システム情報学研究科 2025年度 第一期 数学 1

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• Linear-Transformation
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura

Description

つぎの各問いに答えよ.

(1)

$f(x)$ を区間 $[0,1]$ で定義された非負連続関数とする。任意の $b>0$ に対して，等式

$$\int_{0}^{a} f(x)dx = b \int_{a}^{1} f(x)dx$$

を満たす $a\in[0,1]$ が存在することを示せ。 また，$f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, b=2$ としたとき，$a$ の値を求めよ。

(2)

$2$ 次以下の $1$ 変数多項式のなす実ベクトル空間

$$V={a_0+a_1x+a_2x^2 : a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R},}$$

を考える。$V$ 上の線形変換 $T$ を $T(f(x))=f(2+3x)$ で定義する。

(2-a) $V$ の基底 $\{1,x,x^2\}$ に関する線形変換 $T$ の表現行列 $A$ を求めよ。

(2-b) (2-a) で得られた $A$ の固有値および線形変換 $T$ の固有値をそれぞれ求めよ。

题目描述

回答下列问题。

1. 设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的非负连续函数。证明对任意 $b>0$，存在 $a\in[0,1]$ 满足

   $$\int_0^af(x)\,dx = b\int_a^1f(x)\,dx.$$

   再对

   $$f(x)=\frac1{1+x^2},\qquad b=2$$

   求 $a$。

2. 考虑次数不超过 2 的一元实多项式组成的向量空间

   $$V=\{a_0+a_1x+a_2x^2\mid a_0,a_1,a_2\in\mathbb R\}.$$

   定义线性变换

   $$T(f(x))=f(2+3x).$$

   （a）求 $T$ 关于基 $\{1,x,x^2\}$ 的表示矩阵 $A$。

   （b）分别求矩阵 $A$ 的特征值和线性变换 $T$ 的特征值。

考点

• 介值定理与含参积分：构造连续函数比较左右积分，在端点检查符号以证明零点存在。
• 反正切积分：对 $1/(1+x^2)$ 积分并解三等分总积分的位置。
• 多项式空间的表示矩阵：计算基向量在仿射代换下的像并按基展开。
• 矩阵与线性变换的特征值一致性：利用上三角结构或特征多项式读取谱。

Kai

(1)

まず

$$g(a)=\int_{0}^{a} f(x)dx - b\int_{a}^{1} f(x)dx$$

とおく。積分の線形性より

$$g(a)=(1+b)\int_{0}^{a} f(x)dx - b\int_{0}^{1} f(x)dx.$$

$f$ は非負連続だから $a\mapsto \int_{0}^{a} f$ は連続、したがって $g$ も連続。 さらに

$$g(0)=-b\int_{0}^{1}f(x)dx \le 0,\qquad g(1)=\int_{0}^{1}f(x)dx \ge 0 .$$

もし $\int_{0}^{1} f=0$（すなわち $f\equiv 0$）なら任意の $a$ が解。そうでなければ $g(0)<0, g(1)>0$ となるので中間値の定理により $g(a)=0$ を満たす $a\in[0,1]$ が存在する。

つぎに $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}, b=2$ のとき

$$\int_{0}^{a}\frac{dx}{1+x^2}=\arctan a, \qquad \int_{a}^{1}\frac{dx}{1+x^2}=\arctan1-\arctan a=\frac{\pi}{4}-\arctan a .$$

条件式は

$$\arctan a = 2\left(\frac{\pi}{4}-\arctan a\right) \Longrightarrow 3\arctan a=\frac{\pi}{2} \Longrightarrow \arctan a=\frac{\pi}{6}.$$

したがって

$$\boxed{a=\arctan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}, }.$$

(2)

(2-a)

基底 ${1,x,x^2}$ に対し

$$T(1)=1 \Rightarrow [1,0,0]^{\mathsf T},\qquad T(x)=2+3x \Rightarrow [2,3,0]^{\mathsf T},\qquad T(x^2)=(2+3x)^2=4+12x+9x^2 \Rightarrow [4,12,9]^{\mathsf T}.$$

よって列をこれらの座標とする表現行列は

$$\boxed{ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 0 & 3 & 12\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}}$$

である。

(2-b)

上三角行列の固有値は対角成分なので

$$\boxed{\lambda(A)=\{1,3,9\}}.$$

基底によらず線形変換 $T$ の固有値は行列の固有値と一致するから，

$$\boxed{\lambda(T)=\{1,3,9\}}.$$