神戸大学 システム情報学研究科 2025年度 第一期 数学 1

Author

祭音Myyura

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つぎの各問いに答えよ.

(1)

を区間 で定義された非負連続関数とする。任意の に対して，等式

を満たす が存在することを示せ。 また， としたとき， の値を求めよ。

(2)

次以下の 変数多項式のなす実ベクトル空間

を考える。 上の線形変換 を で定義する。

(2-a) の基底 に関する線形変換 の表現行列 を求めよ。

(2-b) (2-a) で得られた の固有値および線形変換 の固有値をそれぞれ求めよ。

Kai

(1)

まず

とおく。積分の線形性より

は非負連続だから は連続、したがって も連続。 さらに

もし （すなわち ）なら任意の が解。そうでなければ となるので中間値の定理により を満たす が存在する。

つぎに のとき

条件式は

したがって

(2)

(2-a)

基底 に対し

よって列をこれらの座標とする表現行列は

である。

(2-b)

上三角行列の固有値は対角成分なので

基底によらず線形変換 の固有値は行列の固有値と一致するから，