神戸大学 システム情報学研究科 2019年8月実施 数学 [3]

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• Exact-Differential-Equation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$D=\{(x,y):x>0,\ y>1\}$ 上の関数

$$F(x,y)=2xy^2\log y,\qquad G(x,y)=x^2y$$

を考える。

1. $D$ において

   $$\frac{\partial}{\partial x}\{\lambda(y)G(x,y)\} =\frac{\partial}{\partial y}\{\lambda(y)F(x,y)\}$$

   を満たす恒等的には $0$ でない関数 $\lambda(y)$ を一つ求めよ。

2. 全微分方程式

   $$F(x,y)\,dx+G(x,y)\,dy=0$$

   について，(1) の結果を用いて $D$ における点 $(1,e)$ を通る解を求めよ。

题目描述

在 $D=\{(x,y):x>0,y>1\}$ 上给定 $F(x,y)=2xy^2\log y$、$G(x,y)=x^2y$。

1. 求一个不恒为零、仅依赖于 $y$ 的积分因子 $\lambda(y)$，使 $\lambda F\,dx+\lambda G\,dy$ 为恰当微分。
2. 利用该积分因子，求微分方程 $F\,dx+G\,dy=0$ 在 $D$ 内通过 $(1,e)$ 的解。

Kai

(1)

条件式は

$$2xy\lambda(y) =2x\frac{d}{dy}\{\lambda(y)y^2\log y\}.$$

$x>0, y>1$ より整理すると

$$y\lambda =y^2(\log y)\lambda'+(2y\log y+y)\lambda,$$

$$y\lambda'+2\lambda=0.$$

よって $\lambda(y)=Cy^{-2}$。一つ選べば

$$\boxed{\lambda(y)=\frac1{y^2}}.$$

(2)

積分因子を掛けると

$$2x\log y\,dx+\frac{x^2}{y}\,dy=0.$$

左辺は

$$d(x^2\log y)$$

だから，一般解は $x^2\log y=C$。点 $(1,e)$ を通るので $C=1$ であり，

$$\boxed{x^2\log y=1}$$

（同値に $\boxed{y=e^{1/x^2}}$）である。