跳到主要内容

神戸大学 システム情報学研究科 2019年8月実施 数学 [2]

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

f(z)=2z3−5z2+6z−2,g(z)=1f(z)f(z)=2z^3-5z^2+6z-2,\qquad g(z)=\frac1{f(z)}

とおく。

  1. f(1+i)=0f(1+i)=0 であることを確認して，f(z)=0f(z)=0 の根をすべて求めよ。
  2. g(z)g(z) の各極における留数をそれぞれ求めよ。
  3. 原点を中心として反時計方向に向き付けられた半径 11 の円を CC とする。複素積分 ∫Cg(z) dz\displaystyle\int_Cg(z)\,dz を求めよ。

题目描述​

令 f(z)=2z3−5z2+6z−2f(z)=2z^3-5z^2+6z-2、g(z)=1/f(z)g(z)=1/f(z)。

  1. 验证 f(1+i)=0f(1+i)=0，并求 f(z)=0f(z)=0 的全部根。
  2. 求 gg 在各极点处的留数。
  3. CC 为以原点为圆心、半径为 11 的逆时针圆周，求 ∫Cg(z) dz\int_Cg(z)\,dz。

Kai​

(1)​

(1+i)2=2i,(1+i)3=−2+2i(1+i)^2=2i, (1+i)^3=-2+2i より

f(1+i)=2(−2+2i)−5(2i)+6(1+i)−2=0.f(1+i)=2(-2+2i)-5(2i)+6(1+i)-2=0.

ff は実係数多項式なので 1−i1-i も根である。したがって

f(z)=2{z−(1+i)}{z−(1−i)}(z−12),f(z)=2\{z-(1+i)\}\{z-(1-i)\}\left(z-\frac12\right),

ゆえに

z=1+i,1−i,12.\boxed{z=1+i,\quad1-i,\quad\frac12}.

(2)​

各根は単根であり，f′(z)=6z2−10z+6f'(z)=6z^2-10z+6 だから

Res⁡z=αg(z)=1f′(α).\operatorname*{Res}_{z=\alpha}g(z)=\frac1{f'(\alpha)}.

したがって

Res⁡z=1+ig=−2+i10,Res⁡z=1−ig=−2−i10,Res⁡z=1/2g=25.\boxed{ \operatorname*{Res}_{z=1+i}g=-\frac{2+i}{10},\qquad \operatorname*{Res}_{z=1-i}g=-\frac{2-i}{10},\qquad \operatorname*{Res}_{z=1/2}g=\frac25}.

(3)​

∣1±i∣=2>1|1\pm i|=\sqrt2>1，∣1/2∣<1|1/2|<1 であるから，CC の内部の極は z=1/2z=1/2 のみである。留数定理より

∫Cg(z) dz=2πiRes⁡z=1/2g(z)=4πi5.\boxed{ \int_Cg(z)\,dz =2\pi i\operatorname*{Res}_{z=1/2}g(z) =\frac{4\pi i}{5}}.
本页目录