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神戸大学 システム情報学研究科 2019年8月実施 数学 [1]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

(1)​

nn を自然数とし，

fn(x,y)=(an+bne−n2x)cos⁡nyf_n(x,y)=\left(a_n+b_ne^{-n^2x}\right)\cos ny

を考える。

(1-a)​

fnf_n が

∂fn∂x(x,y)=∂2fn∂y2(x,y)+ncos⁡ny,x>0,0<y<π,\frac{\partial f_n}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial^2f_n}{\partial y^2}(x,y)+\sqrt n\cos ny, \qquad x>0,\quad 0<y<\pi,

および

fn(0,y)=0,0<y<πf_n(0,y)=0,\qquad 0<y<\pi

を満たすように，係数 an,bna_n,b_n を定めよ。

(1-b)​

D={(x,y):x>0, 0≤y≤π}D=\{(x,y):x>0,\ 0\le y\le\pi\} とする。(1-a) の係数をもつ fnf_n について，任意に固定された (x,y)∈D(x,y)\in D に対する

lim⁡n→∞fn(x,y)\lim_{n\to\infty}f_n(x,y)

を求めよ。

(2)​

a,ba,b を相異なる実数とし，

A=(a+ba−ba−ba+b)A=\begin{pmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{pmatrix}

を考える。

  1. AA の固有値および固有ベクトルを求めよ。
  2. 自然数 nn に対して AnA^n を求めよ。

题目描述​

  1. 设 nn 为自然数，fn(x,y)=(an+bne−n2x)cos⁡nyf_n(x,y)=(a_n+b_ne^{-n^2x})\cos ny。
    1. 求使 fnf_n 满足题给偏微分方程及边界条件 fn(0,y)=0f_n(0,y)=0 的 an,bna_n,b_n。
    2. 对任意固定的 (x,y)∈D={x>0,0≤y≤π}(x,y)\in D=\{x>0,0\le y\le\pi\}，求 lim⁡n→∞fn(x,y)\lim_{n\to\infty}f_n(x,y)。
  2. 对相异实数 a,ba,b 及题给对称矩阵 AA，求其特征值、特征向量和 AnA^n。

Kai​

(1)​

(1-a)​

∂fn∂x=−n2bne−n2xcos⁡ny,\frac{\partial f_n}{\partial x} =-n^2b_ne^{-n^2x}\cos ny,
∂2fn∂y2+ncos⁡ny=[−n2(an+bne−n2x)+n]cos⁡ny.\frac{\partial^2f_n}{\partial y^2}+\sqrt n\cos ny =\left[-n^2(a_n+b_ne^{-n^2x})+\sqrt n\right]\cos ny.

両者を比較すると

−n2an+n=0,an=n−3/2.-n^2a_n+\sqrt n=0,\qquad a_n=n^{-3/2}.

また fn(0,y)=0f_n(0,y)=0 より an+bn=0a_n+b_n=0 である。したがって

an=1n3/2,bn=−1n3/2,\boxed{a_n=\frac1{n^{3/2}},\qquad b_n=-\frac1{n^{3/2}}},
fn(x,y)=1−e−n2xn3/2cos⁡ny.f_n(x,y)=\frac{1-e^{-n^2x}}{n^{3/2}}\cos ny.

(1-b)​

x>0x>0 では 0<1−e−n2x<10<1-e^{-n^2x}<1 であり，∣cos⁡ny∣≤1|\cos ny|\le1 だから

∣fn(x,y)∣≤1n3/2⟶0.|f_n(x,y)|\le \frac1{n^{3/2}}\longrightarrow0.

よって

lim⁡n→∞fn(x,y)=0.\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x,y)=0}.

(2)​

(2-a)​

A(11)=2a(11),A(1−1)=2b(1−1).A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} =2a\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} =2b\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.

a≠ba\ne b より固有値は相異なる。したがって

λ=2a: v=c(11),λ=2b: v=c(1−1)(c≠0).\boxed{\lambda=2a:\ \boldsymbol v=c\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad \lambda=2b:\ \boldsymbol v=c\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\quad(c\ne0)}.

(2-b)​

P=(111−1),P−1=12P,A=P(2a002b)P−1.P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}=\frac12P, \qquad A=P\begin{pmatrix}2a&0\\0&2b\end{pmatrix}P^{-1}.

ゆえに，n≥1n\ge1 に対して

An=12((2a)n+(2b)n(2a)n−(2b)n(2a)n−(2b)n(2a)n+(2b)n)\boxed{ A^n=\frac12 \begin{pmatrix} (2a)^n+(2b)^n&(2a)^n-(2b)^n\\ (2a)^n-(2b)^n&(2a)^n+(2b)^n \end{pmatrix}}

である。なお A0=IA^0=I である。

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