神戸大学 システム情報学研究科 2018年8月実施 数学 4

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• Matrix-Exponential

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$\boldsymbol y(x)=(y_1(x),y_2(x))^{\mathsf T}$，$x\ge0$ に関する微分方程式系

$$\frac{d\boldsymbol y}{dx} =A\boldsymbol y+e^x\boldsymbol c,\qquad \boldsymbol y(0)=\boldsymbol0 \tag{*}$$

を考える。ここで

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol c\in\mathbb R^2$$

であり，$\boldsymbol c$ は定ベクトルとする。

1. 行列の指数関数 $e^{xA}$ を求めよ。ここで

   $$e^{xA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}A^k,\qquad A^0=I$$

   とする。

2. $\boldsymbol z(x)=e^{-x}\boldsymbol y(x)$ とおいて，$\boldsymbol z(x)$ に関する微分方程式を導け。

3. $(*)$ の解が

   $$\boldsymbol y(\pi)=e^\pi\boldsymbol z(\pi) =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$

   を満たすように，定ベクトル $\boldsymbol c$ を定めよ。

题目描述

对 $x\ge0$ 考虑初值问题

$$\boldsymbol y'=A\boldsymbol y+e^x\boldsymbol c,\qquad \boldsymbol y(0)=\boldsymbol0,\qquad A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},$$

其中 $\boldsymbol c\in\mathbb R^2$ 为常向量。

1. 求矩阵指数 $e^{xA}$。
2. 令 $\boldsymbol z(x)=e^{-x}\boldsymbol y(x)$，导出 $\boldsymbol z$ 满足的微分方程。
3. 选择 $\boldsymbol c$，使 $\boldsymbol y(\pi)=(1,2)^{\mathsf T}$。

Kai

(1)

$A^2=-I$ なので，級数を偶数次と奇数次に分ければ

$$\boxed{ e^{xA}=I\cos x+A\sin x =\begin{pmatrix} \cos x&\sin x\\ -\sin x&\cos x \end{pmatrix}}.$$

(2)

$\boldsymbol y=e^x\boldsymbol z$ を $(*)$ に代入すると

$$e^x(\boldsymbol z+\boldsymbol z') =e^xA\boldsymbol z+e^x\boldsymbol c.$$

よって

$$\boxed{\boldsymbol z'=(A-I)\boldsymbol z+\boldsymbol c,\qquad \boldsymbol z(0)=\boldsymbol0}.$$

(3)

$$\boldsymbol d=(I-A)^{-1}\boldsymbol c$$

とおくと，(2) の解は

$$\boldsymbol y(x)=e^x\boldsymbol z(x) =\left(e^xI-e^{xA}\right)\boldsymbol d.$$

$e^{\pi A}=-I$ だから

$$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} =\boldsymbol y(\pi) =(e^\pi+1)\boldsymbol d.$$

したがって

$$\boldsymbol c=(I-A)\boldsymbol d =\frac1{e^\pi+1} \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} =\boxed{\frac1{e^\pi+1}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.$$