神戸大学 システム情報学研究科 2018年8月実施 数学 3

标签：

• Kobe-University
• Fourier-Transform

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ を自然数とし，関数

$$f_n(x)= \begin{cases} n,&|x|\le \dfrac1n,\\ 0,&|x|>\dfrac1n \end{cases}$$

を考える。

1. $f_n(x)$ のフーリエ変換

   $$\widehat f_n(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)e^{-itx}\,dx, \qquad -\infty<t<\infty$$

   を求めよ。

2. 任意に固定された $t\ne0$ に対して $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\widehat f_n(t)$ を求めよ。また，任意に固定された自然数 $n$ に対して $\displaystyle\lim_{t\to0}\widehat f_n(t)$ を求めよ。

3. (1) の結果を利用して，定積分

   $$\int_0^\infty\frac{\sin(t/n)}t\,dt$$

   の値を求めよ。

题目描述

令 $n$ 为自然数，并定义

$$f_n(x)= \begin{cases} n,&|x|\le1/n,\\ 0,&|x|>1/n. \end{cases}$$

1. 按题中给定的对称归一化定义求 $f_n$ 的 Fourier 变换 $\widehat f_n(t)$。

2. 对固定的 $t\ne0$ 求 $n\to\infty$ 时的极限；对固定的自然数 $n$ 求 $t\to0$ 时的极限。

3. 利用第 1 问求

   $$\int_0^\infty\frac{\sin(t/n)}t\,dt.$$

Kai

(1)

$t\ne0$ のとき

$$\begin{aligned} \widehat f_n(t) &=\frac{n}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1/n}^{1/n}e^{-itx}\,dx\\ &=\sqrt{\frac2\pi}\,\frac n t\sin\frac t n. \end{aligned}$$

$t=0$ では直接積分して $\widehat f_n(0)=2/\sqrt{2\pi}$。したがって

$$\boxed{ \widehat f_n(t)= \begin{cases} \displaystyle\sqrt{\frac2\pi}\frac n t\sin\frac t n,&t\ne0,\\[6pt] \displaystyle\sqrt{\frac2\pi},&t=0. \end{cases}}$$

(2)

$\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$ より，

$$\boxed{ \lim_{n\to\infty}\widehat f_n(t)=\sqrt{\frac2\pi}\quad(t\ne0), \qquad \lim_{t\to0}\widehat f_n(t)=\sqrt{\frac2\pi}\quad(n\text{ を固定}).}$$

(3)

$f_n$ は $x=0$ で連続なので，フーリエ反転公式を $x=0$ で用いると

$$\begin{aligned} n=f_n(0) &=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\widehat f_n(t)\,dt\\ &=\frac n\pi\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(t/n)}t\,dt. \end{aligned}$$

被積分関数は偶関数であるから，

$$\boxed{\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin(t/n)}t\,dt=\frac\pi2}.$$