神戸大学 システム情報学研究科 2018年8月実施 数学 2

标签：

• Kobe-University
• Cauchy-Riemann-Equations
• Residue-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$x,y$ を実数とし，実数値関数

$$u(x,y)=x^3-3xy^2+x$$

を考える。

1. コーシー・リーマンの関係式

   $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

   および $v(0,0)=0$ を満たす実数値関数 $v(x,y)$ を求めよ。

2. 複素変数 $z=x+iy$ の関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ を考える。$f(z)$ を $z$ のみを用いて表わせ。

3. 複素平面上の点 $i$ を中心とし，半径 $\sqrt2$ の反時計方向に向き付けられた円周を $C$ とする。複素積分

   $$\oint_C\frac1{f(z)}\,dz$$

   の値を求めよ。

题目描述

设 $x,y$ 为实数，并给定

$$u(x,y)=x^3-3xy^2+x.$$

1. 求满足 Cauchy–Riemann 方程及 $v(0,0)=0$ 的实值函数 $v(x,y)$。

2. 对 $z=x+iy$，令 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，仅用 $z$ 表示 $f$。

3. 设 $C$ 是以复平面上的点 $i$ 为圆心、半径 $\sqrt2$、逆时针定向的圆，计算

   $$\oint_C\frac1{f(z)}\,dz.$$

Kai

(1)

$$u_x=3x^2-3y^2+1,\qquad u_y=-6xy.$$

したがって

$$v_y=3x^2-3y^2+1,\qquad v_x=6xy.$$

積分して $v=3x^2y-y^3+y+C$。$v(0,0)=0$ より $C=0$ なので，

$$\boxed{v(x,y)=3x^2y-y^3+y}.$$

(2)

$u$ と $v$ はそれぞれ $z^3+z$ の実部と虚部である。よって

$$\boxed{f(z)=z^3+z=z(z-i)(z+i)}.$$

(3)

$C$ は $|z-i|=\sqrt2$ である。各極と中心 $i$ との距離は

$$|0-i|=1,qquad |i-i|=0,qquad |-i-i|=2$$

なので，$C$ の内部の極は $0,i$ のみである。これらは単純極であり，

$$\operatorname{Res}\left(\frac1f,0\right)=1, \qquad \operatorname{Res}\left(\frac1f,i\right) =\frac1{3i^2+1}=-\frac12.$$

留数定理より

$$\boxed{ \displaystyle\oint_C\frac1{f(z)}\,dz =2\pi i\left(1-\frac12\right)=\pi i}.$$