神戸大学 システム情報学研究科 2018年8月実施 数学 1

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• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Power

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

つぎの各問いに答えよ。

(1)

集合

$$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid 0\le x\le1,\ x\le y\le1\}$$

に対して，2 重積分

$$\iint_D e^{\frac13x^3-x}y\,dx\,dy$$

の値を求めよ。

(2)

$\alpha$ を $0$ でない実数とする。行列

$$A= \begin{pmatrix} 0&\alpha&0\\ 0&0&\alpha\\ \alpha&0&0 \end{pmatrix}$$

に対して，$A^n$ の固有値をすべて求めよ。ただし，$n$ は自然数とする。

题目描述

1. 对区域

   $$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid0\le x\le1, x\le y\le1\}$$

   计算

   $$\iint_D e^{x^3/3-x}y\,dx\,dy.$$

2. 设 $\alpha$ 为非零实数，且

   $$A= \begin{pmatrix} 0&\alpha&0\\ 0&0&\alpha\\ \alpha&0&0 \end{pmatrix}.$$

   求 $A^n$ 的全部特征值，其中 $n$ 为自然数。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} I &=\int_0^1\int_x^1e^{x^3/3-x}y\,dy\,dx\\ &=\frac12\int_0^1(1-x^2)e^{x^3/3-x}\,dx. \end{aligned}$$

$\dfrac{d}{dx}(x^3/3-x)=x^2-1$ より，

$$I=-\frac12\left[e^{x^3/3-x}\right]_0^1 =\boxed{\frac{1-e^{-2/3}}2}.$$

(2)

$\omega=e^{2\pi i/3}$ とおく。$A=\alpha P$，$P^3=I$ であるから，$A$ の固有値は

$$\alpha,\quad \alpha\omega,\quad \alpha\omega^2.$$

したがって固有値写像定理より，$A^n$ の固有値（重複度込み）は

$$\boxed{\alpha^n,\quad \alpha^n\omega^n,\quad \alpha^n\omega^{2n}}.$$

特に，$3\mid n$ なら三つとも $\alpha^n$，$3\nmid n$ なら $\alpha^n,\alpha^n\omega,\alpha^n\omega^2$ である。