神戸大学 システム情報学研究科 2018年1月実施 第二期 数学 [4]

标签：

• 神户大学
• 柯西–欧拉方程
• 边值问题

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$\mu>\dfrac14$ を満たす定数 $\mu$ とし、$y=y(x)$ に関する微分方程式

$$-x^2\frac{d^2y}{dx^2}=\mu y,\qquad 1<x<e \tag{*}$$

を考える。

1. 変数変換 $x=e^t, y(x)=z(t)$ によって、$(*)$ を $z=z(t)$ に関する微分方程式として表せ。
2. (1) で求めた微分方程式の一般解 $z(t)$ を求めよ。
3. 境界条件 $y(1)=y(e)=0$ を満たす $(*)$ の非自明解が存在するような $\mu$ の値をすべて求めよ。ただし、非自明解とは恒等的に $0$ でない解をいう。

题目描述

设常数 $\mu>1/4$，考虑微分方程

$$-x^2y''=\mu y,\qquad 1<x<e.$$

1. 作变量代换 $x=e^t, y(x)=z(t)$，写出关于 $z(t)$ 的微分方程。
2. 求该方程的通解。
3. 求全部使边界条件 $y(1)=y(e)=0$ 存在非零解的 $\mu$。

Kai

(1)

$t=\log x$ より

$$\frac{dy}{dx}=\frac1x\frac{dz}{dt},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{x^2}\left(\frac{d^2z}{dt^2}-\frac{dz}{dt}\right).$$

したがって

$$\boxed{z''-z'+\mu z=0}.$$

(2)

$\omega=\sqrt{\mu-\dfrac14}>0$ とおく。特性根は

$$r=\frac12\pm i\omega$$

なので、

$$\boxed{z(t)=e^{t/2}\left(C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t\right)}.$$

したがって

$$y(x)=\sqrt{x}\left(C_1\cos(\omega\log x)+C_2\sin(\omega\log x)\right).$$

(3)

$y(1)=0$ から $C_1=0$。さらに $y(e)=0$ より

$$e^{1/2}C_2\sin\omega=0.$$

非自明解には $C_2\ne0$ が必要なので、$\omega=n\pi\ (n=1,2,\ldots)$。ゆえに

$$\boxed{\mu=\frac14+n^2\pi^2\qquad(n=1,2,\ldots)}.$$