神戸大学 システム情報学研究科 2018年1月実施 第二期 数学 [3]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

関数 $f(x)=\cosh x\ (-\pi\leq x<\pi)$ を考える。ただし

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2$$

である。

1. $f(x)$ を周期 $2\pi$ の関数に拡張した関数を、記号を変えずに $f(x)$ で表す。これを

   $$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$

   とフーリエ級数展開するとき、各係数 $a_0,a_k,b_k$ を求めよ。

2. (1) の結果を用いて、

   $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2+1}$$

   の値を求めよ。

题目描述

在 $-\pi\leq x<\pi$ 上令 $f(x)=\cosh x$，并将其作 $2\pi$ 周期延拓。

1. 求展开式

   $$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$

   中的全部 Fourier 系数。

2. 利用第 1 问求 $\sum_{k=1}^{\infty}(k^2+1)^{-1}$。

Kai

(1)

$f$ は偶関数であるから $b_k=0$。また、

$$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cosh x\,dx =\frac{2\sinh\pi}{\pi},$$

$$\begin{aligned} a_k &=\frac2\pi\int_0^\pi\cosh x\cos kx\,dx\\ &=\frac2\pi \left[\frac{\sinh x\cos kx+k\cosh x\sin kx}{k^2+1}\right]_0^\pi\\ &=\frac{2(-1)^k\sinh\pi}{\pi(k^2+1)}. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{ \cosh x=\frac{\sinh\pi}{\pi} +\frac{2\sinh\pi}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k\cos kx}{k^2+1} }.$$

(2)

$x=\pi$ とおくと $(-1)^k\cos(k\pi)=1$ なので、

$$\cosh\pi=\frac{\sinh\pi}{\pi} +\frac{2\sinh\pi}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2+1}.$$

よって

$$\boxed{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2+1} =\frac{\pi\coth\pi-1}{2} }.$$