神戸大学 システム情報学研究科 2018年1月実施 第二期 数学 [2]

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• Kobe-University
• Singularities-and-Poles
• Residue-Theorem
• Contour-Integration

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

つぎの各問いに答えよ。

1. 複素関数

   $$\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}2$$

   のすべての零点を求めよ。

2. 複素関数

   $$f(z)= \begin{cases} \dfrac{\sinh z}{z},&z\ne0,\\ a,&z=0 \end{cases}$$

   が複素平面全体で正則となるように、定数 $a$ を定めよ。

3. $C$ を原点を中心として反時計方向に向き付けられた単位円とする。複素積分

   $$\int_C\frac1{\sinh z}\,dz$$

   の値を求めよ。

题目描述

1. 求复函数 $\sinh z=(e^z-e^{-z})/2$ 的全部零点。

2. 确定常数 $a$，使分段函数

   $$f(z)=\begin{cases}\sinh z/z,&z\ne0,\\a,&z=0\end{cases}$$

   在整个复平面上解析。

3. $C$ 是以原点为圆心、逆时针定向的单位圆。计算 $\int_C(\sinh z)^{-1}\,dz$。

Kai

(1)

$$\sinh z=0 \iff e^{2z}=1 \iff 2z=2k\pi i\quad(k\in\mathbb Z).$$

したがって、すべての零点は

$$\boxed{z=k\pi i\quad(k\in\mathbb Z)}.$$

(2)

$z=0$ は除去可能特異点であり、

$$\lim_{z\to0}\frac{\sinh z}{z}=1.$$

よって

$$\boxed{a=1}.$$

(3)

$1/\sinh z$ の極は $z=k\pi i$ にある。単位円の内部にある極は $z=0$ のみで、

$$\operatorname{Res}\left(\frac1{\sinh z},0\right) =\frac1{\cosh0}=1.$$

留数定理より

$$\boxed{\int_C\frac1{\sinh z}\,dz=2\pi i}.$$