神戸大学 システム情報学研究科 2018年1月実施 第二期 数学 [1]

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• Linear-Independence

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

つぎの各問いに答えよ。

(1)

$$D=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:(x-1)^2+y^2\leq 1,\ 0\leq y\right\}$$

として、二重積分

$$\iint_D x^2y\,dx\,dy$$

を計算せよ。

(2)

$t$ を実数とし、

$$\boldsymbol a=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}-3\\-6\\1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol c=\begin{pmatrix}1\\t\\1\end{pmatrix}$$

を考える。

1. $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が一次独立であることを示せ。
2. $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ が一次従属となる $t$ を求め、そのとき $\boldsymbol c$ を $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ の一次結合で表せ。

题目描述

1. 令

   $$D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:(x-1)^2+y^2\leq1,\ 0\leq y\},$$

   计算 $\iint_Dx^2y\,dx\,dy$。

2. 对实数 $t$，令

   $$\boldsymbol a=(1,2,-1)^{\mathsf T},\quad \boldsymbol b=(-3,-6,1)^{\mathsf T},\quad \boldsymbol c=(1,t,1)^{\mathsf T}.$$

   （i）证明 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 线性无关；（ii）求使 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 线性相关的 $t$，并将此时的 $\boldsymbol c$ 表成 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 的线性组合。

Kai

(1)

$x=1+r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ とおくと、

$$0\leq r\leq1,\qquad 0\leq\theta\leq\pi,\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.$$

したがって

$$\begin{aligned} \iint_Dx^2y\,dx\,dy &=\int_0^1\int_0^\pi(1+r\cos\theta)^2r^2\sin\theta\,d\theta\,dr\\ &=\int_0^1\left(2r^2+\frac23r^4\right)dr =\boxed{\frac45}. \end{aligned}$$

(2)

(i)

$\alpha\boldsymbol a+\beta\boldsymbol b=\boldsymbol0$ とする。第1、第3成分から

$$\alpha-3\beta=0,\qquad -\alpha+\beta=0$$

を得るので、$\alpha=\beta=0$。よって $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ は一次独立である。

(ii)

$$\det\begin{pmatrix} 1&-3&1\\ 2&-6&t\\ -1&1&1 \end{pmatrix}=2(t-2).$$

ゆえに一次従属となるのは

$$\boxed{t=2}$$

のときであり、このとき

$$\boxed{\boldsymbol c=-2\boldsymbol a-\boldsymbol b}$$

である。