神戸大学 システム情報学研究科 2017年8月実施 数学 4

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$y_1=y_1(x),y_2=y_2(x)$、$x>0$ に関する微分方程式系

$$y_1'=y_1+y_2,\qquad y_2'=\frac{y_1}{x}+\frac{y_2}{x} \tag{*}$$

を考える。

1. $z=y_1+y_2$ とおく。$z$ の満たす一階常微分方程式を示し、その一般解を求めよ。

2. 微分方程式系 $(*)$ の一般解を求めよ。

3. 次の微分方程式系の解を、初期条件 $y_1(1)=1,y_2(1)=0$ のもとで求めよ。

   $$y_1'=y_1+y_2,\qquad y_2'=\frac{y_1}{x}+\frac{y_2}{x}-x^2.$$

题目描述

对 $x>0$ 考虑微分方程组

$$y_1'=y_1+y_2,\qquad y_2'=\frac{y_1}{x}+\frac{y_2}{x}. \tag{*}$$

1. 令 $z=y_1+y_2$，写出 $z$ 满足的一阶常微分方程并求其通解。

2. 求方程组 $(*)$ 的通解。

3. 在初始条件 $y_1(1)=1,y_2(1)=0$ 下求解

   $$y_1'=y_1+y_2,\qquad y_2'=\frac{y_1}{x}+\frac{y_2}{x}-x^2.$$

Kai

(1)

二式を加えると

$$z'=\left(1+\frac1x\right)z.$$

よって

$$\boxed{z=Cxe^x}.$$

(2)

$y_1'=z=Cxe^x$ より

$$y_1=C(x-1)e^x+D.$$

さらに $y_2=z-y_1$ なので

$$\boxed{ y_1=C(x-1)e^x+D,\qquad y_2=Ce^x-D }$$

を得る。ただし $C,D$ は任意定数である。

(3)

$z=y_1+y_2$ とおくと

$$z'-\left(1+\frac1x\right)z=-x^2.$$

積分因子 $e^{-x}/x$ を掛ければ

$$\left(\frac{e^{-x}}x z\right)'=-xe^{-x}.$$

したがって

$$z=x(x+1)+Cxe^x.$$

$z(1)=1$ より $C=-e^{-1}$、すなわち

$$z=x(x+1)-xe^{x-1}.$$

$y_1'=z$ と $y_1(1)=1$ から

$$\boxed{ y_1=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-(x-1)e^{x-1}+\frac16 }.$$

最後に $y_2=z-y_1$ より

$$\boxed{ y_2=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x-e^{x-1}-\frac16 }.$$