神戸大学 システム情報学研究科 2017年8月実施 数学 3

标签：

• Kobe-University
• Fourier-Transform
• Gamma-Function

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ を自然数とし、

$$f_n(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ x^ne^{-x},&x\ge0 \end{cases}$$

を考える。

1. $f_1(x)$ のフーリエ変換

   $$\widehat f_1(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)e^{-itx}\,dx,\qquad -\infty<t<\infty$$

   を求めよ。

2. 一般の自然数 $n$ に対して、$f_n(x)$ のフーリエ変換を求めよ。

题目描述

设 $n$ 为自然数，并定义

$$f_n(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ x^ne^{-x},&x\ge0. \end{cases}$$

1. 按照归一化

   $$\widehat f_1(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)e^{-itx}\,dx$$

   求 $f_1$ 的傅里叶变换。

2. 求一般自然数 $n$ 时 $f_n$ 的傅里叶变换。

Kai

$s=1+it$ とおくと $\operatorname{Re}s=1>0$ であり、部分積分を繰り返すことにより

$$\int_0^\infty x^ne^{-sx}\,dx=\frac{n!}{s^{n+1}}.$$

(1)

したがって

$$\boxed{ \widehat f_1(t) =\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_0^\infty xe^{-(1+it)x}\,dx =\frac1{\sqrt{2\pi}(1+it)^2} }.$$

(2)

一般の $n$ について

$$\boxed{ \widehat f_n(t) =\frac{n!}{\sqrt{2\pi}(1+it)^{n+1}},\qquad t\in\mathbb R }.$$