神戸大学 システム情報学研究科 2017年8月実施 数学 2

标签：

• Kobe-University
• Singularities-and-Poles
• Residue-Theorem
• Contour-Integration

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

複素指数関数 $e^z$ を用いて

$$f(z)=\frac1{e^z+1}$$

と定義する。

1. $f(z)$ の特異点をすべて求めよ。

2. (1) の各特異点における $f(z)$ の留数を求めよ。

3. $C$ を、原点を中心として反時計方向に向き付けられた半径 $5$ の円とする。このとき、複素積分

   $$\int_C f(z)\,dz$$

   の値を求めよ。

题目描述

定义复函数

$$f(z)=\frac1{e^z+1}.$$

1. 求 $f(z)$ 的全部奇点。

2. 求 $f(z)$ 在各奇点处的留数。

3. 设 $C$ 是以原点为圆心、半径为 $5$、取逆时针方向的圆，计算

   $$\int_C f(z)\,dz.$$

Kai

(1)

$$e^z+1=0 \iff e^z=-1$$

より、特異点は

$$\boxed{z_k=(2k+1)\pi i\quad(k\in\mathbb Z)}.$$

$g(z)=e^z+1$ とおくと $g'(z_k)=e^{z_k}=-1\ne0$ であるから、すべて単純極である。

(2)

単純極 $z_k$ における留数は

$$\boxed{ \operatorname{Res}(f,z_k) =\frac1{g'(z_k)} =\frac1{e^{z_k}}=-1 }.$$

(3)

$|z|<5$ に含まれる極は $z=\pi i,-\pi i$ の二つである。留数定理より

$$\int_Cf(z)\,dz =2\pi i\{(-1)+(-1)\} =\boxed{-4\pi i}.$$