神戸大学 システム情報学研究科 2017年8月実施 数学 1

标签：

• Kobe-University
• Multivariable-Differentiation
• Hessian-Test-for-Multivariable-Extrema
• Unitary-Matrix
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

つぎの各問いに答えよ。

(1)

関数

$$f(x,y)=\tan^{-1}(x-y)-\frac14x^2+\frac1{12}y^3,\qquad x,y\in\mathbb R$$

の極値を求めよ。ただし、$\tan^{-1}x$ は $\tan u$（$-\frac\pi2<u<\frac\pi2$）の逆関数を表す。

(2)

複素正方行列 $A$ に対し、その共役転置行列を $A^*$ と表す。つぎの行列 $A$ はユニタリ行列であることを示し、その固有値と固有ベクトルを求めよ。

$$A= \begin{pmatrix} \dfrac i2&-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] \dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac i2 \end{pmatrix}.$$

ここで、$A^*A=I$ が成立するとき $A$ をユニタリ行列という。ただし $I$ は単位行列である。

题目描述

1. 求函数

   $$f(x,y)=\tan^{-1}(x-y)-\frac14x^2+\frac1{12}y^3,\qquad x,y\in\mathbb R$$

   的极值，其中 $\tan^{-1}$ 取值于 $(-\pi/2,\pi/2)$。

2. 证明

   $$A= \begin{pmatrix} \dfrac i2&-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] \dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac i2 \end{pmatrix}$$

   是酉矩阵，并求其特征值和特征向量。

Kai

(1)

$d=x-y$ とおくと、停留点では

$$f_x=\frac1{1+d^2}-\frac x2=0,\qquad f_y=-\frac1{1+d^2}+\frac{y^2}{4}=0.$$

したがって

$$x=\frac{y^2}{2},\qquad y^2\left\{1+\left(\frac{y^2}{2}-y\right)^2\right\}=4.$$

後式は

$$(y-2)(y^5-2y^4+4y+8)=0$$

と因数分解される。$q(y)=y^5-2y^4+4y+8$ とおく。$y=-u<0$ では

$$q(-u)=8-4u-2u^4-u^5$$

が $u>0$ で狭義単調減少し、$8$ から $-\infty$ へ移るため、負の実根をただ一つもつ。また $y\ge2$ では明らかに $q(y)>0$ であり、$0\le y\le2$ でも

$$q(y)=8+4y-y^4(2-y)>0$$

である（実際、$\max_{0\le y\le2}y^4(2-y)=8192/3125<8$）。その唯一の負根を $\alpha$ とする。このとき停留点は

$$(x,y)=(2,2),\qquad (x,y)=\left(\frac{\alpha^2}{2},\alpha\right),$$

ただし

$$\alpha^5-2\alpha^4+4\alpha+8=0,\qquad \alpha\approx-1.054764617$$

である。

$(2,2)$ では

$$H_f(2,2)= \begin{pmatrix} -\frac12&0\\ 0&1 \end{pmatrix},$$

ゆえに鞍点である。一方、$d=\alpha^2/2-\alpha>0$ および

$$B=\frac{2d}{(1+d^2)^2}>0$$

とおけば

$$H_f= \begin{pmatrix} -B-\frac12&B\\ B&-B+\frac\alpha2 \end{pmatrix},\qquad \det H_f=\frac{B(1-\alpha)}2-\frac\alpha4>0.$$

よってこの Hessian は負定値である。したがって極値は極大値のみであり、

$$\boxed{ (x,y)=\left(\frac{\alpha^2}{2},\alpha\right),\quad \text{極大値}=\tan^{-1}\!\left(\frac{\alpha^2}{2}-\alpha\right) -\frac{\alpha^4}{16}+\frac{\alpha^3}{12} }$$

である。数値的には

$$(x,y)\approx(0.556264198,-1.054764617),\qquad \text{極大値}\approx0.840134273.$$

(2)

$$A^*= \begin{pmatrix} -\dfrac i2&\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] -\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac i2 \end{pmatrix}$$

より、直接計算して

$$A^*A= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I.$$

したがって $A$ はユニタリ行列である。また

$$\det(\lambda I-A)=\lambda^2+1$$

だから、固有値は $\lambda=\pm i$。対応する固有ベクトルは、任意の非零定数倍を許して

$$\boxed{ \lambda=i:\ \begin{pmatrix}i\sqrt3\\1\end{pmatrix},\qquad \lambda=-i:\ \begin{pmatrix}1\\i\sqrt3\end{pmatrix} }$$

である。