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神戸大学 システム情報学研究科 2017年8月実施 数学 1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

つぎの各問いに答えよ。

(1)​

関数

f(x,y)=tan⁡−1(x−y)−14x2+112y3,x,y∈Rf(x,y)=\tan^{-1}(x-y)-\frac14x^2+\frac1{12}y^3,\qquad x,y\in\mathbb R

の極値を求めよ。ただし、tan⁡−1x\tan^{-1}x は tan⁡u\tan u（−π2<u<π2-\frac\pi2<u<\frac\pi2）の逆関数を表す。

(2)​

複素正方行列 AA に対し、その共役転置行列を A∗A^* と表す。つぎの行列 AA はユニタリ行列であることを示し、その固有値と固有ベクトルを求めよ。

A=(i2−3232−i2).A= \begin{pmatrix} \dfrac i2&-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] \dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac i2 \end{pmatrix}.

ここで、A∗A=IA^*A=I が成立するとき AA をユニタリ行列という。ただし II は単位行列である。

题目描述​

  1. 求函数

    f(x,y)=tan⁡−1(x−y)−14x2+112y3,x,y∈Rf(x,y)=\tan^{-1}(x-y)-\frac14x^2+\frac1{12}y^3,\qquad x,y\in\mathbb R

    的极值，其中 tan⁡−1\tan^{-1} 取值于 (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2)。

  2. 证明

    A=(i2−3232−i2)A= \begin{pmatrix} \dfrac i2&-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] \dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac i2 \end{pmatrix}

    是酉矩阵，并求其特征值和特征向量。

Kai​

(1)​

d=x−yd=x-y とおくと、停留点では

fx=11+d2−x2=0,fy=−11+d2+y24=0.f_x=\frac1{1+d^2}-\frac x2=0,\qquad f_y=-\frac1{1+d^2}+\frac{y^2}{4}=0.

したがって

x=y22,y2{1+(y22−y)2}=4.x=\frac{y^2}{2},\qquad y^2\left\{1+\left(\frac{y^2}{2}-y\right)^2\right\}=4.

後式は

(y−2)(y5−2y4+4y+8)=0(y-2)(y^5-2y^4+4y+8)=0

と因数分解される。q(y)=y5−2y4+4y+8q(y)=y^5-2y^4+4y+8 とおく。y=−u<0y=-u<0 では

q(−u)=8−4u−2u4−u5q(-u)=8-4u-2u^4-u^5

が u>0u>0 で狭義単調減少し、88 から −∞-\infty へ移るため、負の実根をただ一つもつ。また y≥2y\ge2 では明らかに q(y)>0q(y)>0 であり、0≤y≤20\le y\le2 でも

q(y)=8+4y−y4(2−y)>0q(y)=8+4y-y^4(2-y)>0

である（実際、max⁡0≤y≤2y4(2−y)=8192/3125<8\max_{0\le y\le2}y^4(2-y)=8192/3125<8）。その唯一の負根を α\alpha とする。このとき停留点は

(x,y)=(2,2),(x,y)=(α22,α),(x,y)=(2,2),\qquad (x,y)=\left(\frac{\alpha^2}{2},\alpha\right),

ただし

α5−2α4+4α+8=0,α≈−1.054764617\alpha^5-2\alpha^4+4\alpha+8=0,\qquad \alpha\approx-1.054764617

である。

(2,2)(2,2) では

Hf(2,2)=(−12001),H_f(2,2)= \begin{pmatrix} -\frac12&0\\ 0&1 \end{pmatrix},

ゆえに鞍点である。一方、d=α2/2−α>0d=\alpha^2/2-\alpha>0 および

B=2d(1+d2)2>0B=\frac{2d}{(1+d^2)^2}>0

とおけば

Hf=(−B−12BB−B+α2),det⁡Hf=B(1−α)2−α4>0.H_f= \begin{pmatrix} -B-\frac12&B\\ B&-B+\frac\alpha2 \end{pmatrix},\qquad \det H_f=\frac{B(1-\alpha)}2-\frac\alpha4>0.

よってこの Hessian は負定値である。したがって極値は極大値のみであり、

(x,y)=(α22,α),極大値=tan⁡−1 ⁣(α22−α)−α416+α312\boxed{ (x,y)=\left(\frac{\alpha^2}{2},\alpha\right),\quad \text{極大値}=\tan^{-1}\!\left(\frac{\alpha^2}{2}-\alpha\right) -\frac{\alpha^4}{16}+\frac{\alpha^3}{12} }

である。数値的には

(x,y)≈(0.556264198,−1.054764617),極大値≈0.840134273.(x,y)\approx(0.556264198,-1.054764617),\qquad \text{極大値}\approx0.840134273.

(2)​

A∗=(−i232−32i2)A^*= \begin{pmatrix} -\dfrac i2&\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm] -\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac i2 \end{pmatrix}

より、直接計算して

A∗A=(1001)=I.A^*A= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I.

したがって AA はユニタリ行列である。また

det⁡(λI−A)=λ2+1\det(\lambda I-A)=\lambda^2+1

だから、固有値は λ=±i\lambda=\pm i。対応する固有ベクトルは、任意の非零定数倍を許して

λ=i: (i31),λ=−i: (1i3)\boxed{ \lambda=i:\ \begin{pmatrix}i\sqrt3\\1\end{pmatrix},\qquad \lambda=-i:\ \begin{pmatrix}1\\i\sqrt3\end{pmatrix} }

である。

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