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神戸大学 理学研究科 物理学専攻 2022年8月実施 物理 II I

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Author​

Miyake

Description​

3つの量子状態 ∣1⟩,∣2⟩,∣3⟩|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle が規格直交関係 ⟨1∣1⟩=⟨2∣2⟩=⟨3∣3⟩=1\langle1|1\rangle = \langle2|2\rangle = \langle3|3\rangle = 1 および ⟨1∣2⟩=⟨2∣3⟩=⟨1∣3⟩=0\langle1|2\rangle = \langle2|3\rangle = \langle1|3\rangle = 0 を満たしている。 ある定数 ε (>0)\varepsilon\ (> 0) によりハミルトニアンが

H^=−ε(∣3⟩⟨2∣+∣2⟩⟨1∣+∣1⟩⟨2∣+∣2⟩⟨3∣)\hat{H} = -\varepsilon \left( |3\rangle\langle 2| + |2 \rangle \langle 1| + |1 \rangle \langle 2| + |2\rangle\langle 3| \right)

で与えられる系について、以下の問 1～4 に答えなさい。

問1 状態 12(∣1⟩−∣3⟩)\frac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle - |3\rangle) のエネルギー期待値を求めなさい。

問2 定数 aa と bb により a∣1⟩+b∣2⟩+a∣3⟩a|1\rangle + b|2\rangle + a|3\rangle と表される状態が H^\hat{H} の固有状態である場合に、ba\frac{b}{a} の値と固有エネルギーを求めなさい。

問3 状態 ∣1⟩|1\rangle を H^\hat{H} の固有状態の重ね合わせで表しなさい。

問4 時刻 t (≥0)t\ (\geq 0) の状態を ∣Ψ(t)⟩|\Psi(t)\rangle で表す。 ∣Ψ(0)⟩=∣1⟩|\Psi(0)\rangle = |1\rangle である場合に、 ∣Ψ(t)⟩=−∣3⟩|\Psi(t)\rangle = -|3\rangle となる tt の最小値を、定数 ε\varepsilon を使って表しなさい。

题目描述​

三个量子态 ∣1⟩,∣2⟩,∣3⟩|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle 满足标准正交关系

⟨1∣1⟩=⟨2∣2⟩=⟨3∣3⟩=1,\langle1|1\rangle =\langle2|2\rangle =\langle3|3\rangle=1,
⟨1∣2⟩=⟨2∣3⟩=⟨1∣3⟩=0.\langle1|2\rangle =\langle2|3\rangle =\langle1|3\rangle=0.

对常数 ε>0\varepsilon>0，系统 Hamiltonian 为

H^=−ε(∣3⟩⟨2∣+∣2⟩⟨1∣+∣1⟩⟨2∣+∣2⟩⟨3∣).\hat H =-\varepsilon \left( |3\rangle\langle2| +|2\rangle\langle1| +|1\rangle\langle2| +|2\rangle\langle3| \right).

  1. 求状态

    12(∣1⟩−∣3⟩)\frac1{\sqrt2}(|1\rangle-|3\rangle)

    的能量期望值。

  2. 若

    a∣1⟩+b∣2⟩+a∣3⟩a|1\rangle+b|2\rangle+a|3\rangle

    是 H^\hat H 的本征态，求 b/ab/a 和相应本征能量。

  3. 把状态 ∣1⟩|1\rangle 表示为 H^\hat H 本征态的线性叠加。

  4. 以 ∣Ψ(t)⟩|\Psi(t)\rangle 表示 t≥0t\geq0 时的状态。若

    ∣Ψ(0)⟩=∣1⟩,|\Psi(0)\rangle=|1\rangle,

    求首次满足

    ∣Ψ(t)⟩=−∣3⟩|\Psi(t)\rangle=-|3\rangle

    的时刻，用 ε\varepsilon 表示。

考点​

  • 有限维 Hamiltonian 的矩阵表示：在标准正交基中写出三态耦合矩阵并计算期望值。
  • 对称/反对称态与本征分解：利用 1、3 两态交换对称性简化特征值问题。
  • 量子态时间演化：把初态投影到能量本征态并附加相位 e−iEt/ℏe^{-iEt/\hbar}。
  • 量子态完全转移：比较各能级相位，求从一个基态演化到另一个基态的最短时间。

Kai​

問1​

H^12(∣1⟩−∣3⟩)=12⋅(−ε)(∣2⟩−∣2⟩)=0 \begin{aligned} \hat{H} \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 1 \rangle - | 3 \rangle \right) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (- \varepsilon) \left( | 2 \rangle - | 2 \rangle \right) \\ &= 0 \end{aligned}

なので、求める期待値は 00 である。

問2​

H^(a∣1⟩+b∣2⟩+a∣3⟩)=−ε(a∣2⟩+b(∣3⟩+∣1⟩)+a∣2⟩)=−ε(b∣1⟩+2a∣2⟩+b∣3⟩) \begin{aligned} \hat{H} \left( a | 1 \rangle + b | 2 \rangle + a | 3 \rangle \right) &= - \varepsilon \left( a | 2 \rangle + b \left( | 3 \rangle + | 1 \rangle \right) + a | 2 \rangle \right) \\ &= - \varepsilon \left( b | 1 \rangle + 2a | 2 \rangle + b | 3 \rangle \right) \end{aligned}

なので、エネルギー固有値を EE とすると

Ea=−εb,  Eb=−2εa \begin{aligned} E a = - \varepsilon b , \ \ E b = - 2 \varepsilon a \end{aligned}

であり、

ba=±2,  E=−εba=∓2ε     (複合同順)  \begin{aligned} \frac{b}{a} = \pm \sqrt{2} , \ \ E = - \varepsilon \frac{b}{a} = \mp \sqrt{2} \varepsilon \ \ \ \ \text{ (複合同順) } \end{aligned}

を得る。

問3​

問 1, 2 より、

∣φ0⟩=∣1⟩−∣3⟩∣φ+⟩=∣1⟩+2∣2⟩+∣3⟩∣φ−⟩=∣1⟩−2∣2⟩+∣3⟩ \begin{aligned} | \varphi_0 \rangle &= | 1 \rangle - | 3 \rangle \\ | \varphi_+ \rangle &= | 1 \rangle + \sqrt{2} | 2 \rangle + | 3 \rangle \\ | \varphi_- \rangle &= | 1 \rangle - \sqrt{2} | 2 \rangle + | 3 \rangle \end{aligned}

は H^\hat{H} の1次独立な固有状態であることがわかる。

2∣φ0⟩+∣φ+⟩+∣φ−⟩=4∣1⟩ \begin{aligned} 2 | \varphi_0 \rangle + | \varphi_+ \rangle + | \varphi_- \rangle = 4 | 1 \rangle \end{aligned}

なので、

∣1⟩=14(2∣φ0⟩+∣φ+⟩+∣φ−⟩) \begin{aligned} | 1 \rangle = \frac{1}{4} \left( 2 | \varphi_0 \rangle + | \varphi_+ \rangle + | \varphi_- \rangle \right) \end{aligned}

と書ける。

問4​

∣φ0⟩,∣φ+⟩,∣φ−⟩| \varphi_0 \rangle, | \varphi_+ \rangle, | \varphi_- \rangle は、それぞれ H^\hat{H} の固有値 0,−2ε,2ε0, - \sqrt{2} \varepsilon, \sqrt{2} \varepsilon に属する固有状態であることを考慮して、

∣Ψ(t)⟩=14(2∣φ0⟩+ei2εtℏ∣φ+⟩+e−i2εtℏ∣φ−⟩)=14((2+ei2εtℏ+e−i2εtℏ)∣1⟩+2(ei2εtℏ−e−i2εtℏ)∣2⟩+(−2+ei2εtℏ+e−i2εtℏ)∣3⟩)=12((1+cos⁡2εtℏ)∣1⟩+2isin⁡2εtℏ∣2⟩+(−1+cos⁡2εtℏ)∣3⟩) \begin{aligned} | \Psi (t) \rangle &= \frac{1}{4} \left( 2 | \varphi_0 \rangle + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} | \varphi_+ \rangle + e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} | \varphi_- \rangle \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \left( 2 + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} + e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right) | 1 \rangle + \sqrt{2} \left( e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} - e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right) | 2 \rangle + \left( -2 + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} + e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right) | 3 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \left( 1 + \cos \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} \right) | 1 \rangle + \sqrt{2} i \sin \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} | 2 \rangle + \left( -1 + \cos \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} \right) | 3 \rangle \right) \end{aligned}

がわかる。 よって、 ∣Ψ(t)⟩=−∣3⟩| \Psi(t) \rangle = - | 3 \rangle となる最小の t (>0)t \ ( \gt 0) は

2εtℏ=π∴  t=πℏ2ε \begin{aligned} \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} &= \pi \\ \therefore \ \ t &= \frac{\pi \hbar}{\sqrt{2} \varepsilon} \end{aligned}

である。

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