神戸大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 数学 I 問題 1.

标签：

• Kobe-University
• Linear-Transformation
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

Miyake

Description

$\mathbb{R}$ 上の3次元線形空間 $V$ を高々2次の実数係数多項式からなる集合, つまり

$$V = \{ax^2 + bx + c \mid a,b,c \in \mathbb{R}\}$$

で定める. また, $V$ から $V$ への線形写像 $I$ を次が成り立つように定める.

$$I(f) = x^{-1} \left( \int_0^x f(y+1)\ dy \right), \quad f \in V$$

(1) $I(x^2), I(x), I(1)$ を求めよ.

(2) 基底 $x^2, x, 1$ に関する $I$ の表現行列を求めよ.

(3) $I(f) = tf$ となる $t \in \mathbb{R}$ と $0 \neq f \in V$ を全て求めよ.

(4) 正の整数 $n$ に対し, $I^n (x^2 + x + 1)$ を求めよ. ただし, $I^n$ は $I$ の $n$ 回合成をあらわす.

题目描述

在实数域上定义由次数不超过 2 的实系数多项式组成的三维向量空间

$$V=\{ax^2+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb R\}.$$

定义线性映射 $I:V\to V$：

$$I(f) =x^{-1}\left(\int_0^xf(y+1)\,dy\right), \qquad f\in V.$$

1. 求 $I(x^2),I(x),I(1)$。

2. 求 $I$ 关于有序基 $(x^2,x,1)$ 的表示矩阵。

3. 求所有满足

   $$I(f)=tf$$

   的 $t\in\mathbb R$ 与非零 $f\in V$。

4. 对正整数 $n$，求

   $$I^n(x^2+x+1),$$

   其中 $I^n$ 表示 $I$ 的 $n$ 次复合。

考点

• 多项式空间上的线性变换：直接积分并除以 $x$，验证映射仍落在 $V$。
• 表示矩阵：把基向量的像按给定基展开并组成矩阵列。
• 特征值与特征多项式：求线性算子的全部特征对。
• 算子幂与对角化：把初始多项式分解到特征向量基上，快速计算 $I^n$。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} I(1) &= x^{-1} \int_0^x dy \\ &= 1 \\ I(x) &= x^{-1} \int_0^x (y+1) dy \\ &= x^{-1} \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \\ &= \frac{1}{2} x + 1 \\ I(x^2) &= x^{-1} \int_0^x (y+1)^2 dy \\ &= x^{-1} \int_0^x (y^2+2y+1) dy \\ &= \frac{1}{3} x^2 + x + 1 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} I(x^2) & I(x) & I(1) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{3} x^2 + x + 1 & \frac{1}{2} x + 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x^2 & x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、求める表現行列は

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

$$\begin{aligned} t &= \frac{1}{3} , \ \ f(x) = s(2x^2-12x+15) \ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } ) \\ t &= \frac{1}{2} , \ \ f(x) = s(-x+2) \ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } ) \\ t &= 1 , \ \ f(x) = s \ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } ) \end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned} I^n(x^2+x+1) &= 3^{-n} x^2 + \left( -6 \cdot 3^{-n} + 7 \cdot 2^{-n} \right) x + \left( \frac{15}{2} \cdot 3^{-n} - 14 \cdot 2^{-n} + \frac{15}{2} \right) \end{aligned}$$