神戸大学理学研究科数学専攻 2022年8月実施数学 I 問題 1.

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$\mathbb{R}$ 上の3次元線形空間 $V$ を高々2次の実数係数多項式からなる集合, つまり

V = \{ax^2 + bx + c \mid a,b,c \in \mathbb{R}\}

で定める. また, $V$ から $V$ への線形写像 $I$ を次が成り立つように定める.

I(f) = x^{-1} \left( \int_0^x f(y+1)\ dy \right), \quad f \in V

(1) $I(x^2), I(x), I(1)$ を求めよ.

(2) 基底 $x^2, x, 1$ に関する $I$ の表現行列を求めよ.

(3) $I(f) = tf$ となる $t \in \mathbb{R}$ と $0 \neq f \in V$ を全て求めよ.

(4) 正の整数 $n$ に対し, $I^n (x^2 + x + 1)$ を求めよ. ただし, $I^n$ は $I$ の $n$ 回合成をあらわす.

在实数域上定义由次数不超过 2 的实系数多项式组成的三维向量空间

V=\{ax^2+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb R\}.

定义线性映射 $I:V\to V$ ：

I(f) =x^{-1}\left(\int_0^xf(y+1)\,dy\right), \qquad f\in V.

積分した多項式は $x$ を因子にもつので、定義式の $x^{-1}$ は約分できる。 $x=0$ では、この多項式としての延長を用いる。

\begin{aligned} I(1) &= x^{-1} \int_0^x dy \\ &= 1 \\ I(x) &= x^{-1} \int_0^x (y+1) dy \\ &= x^{-1} \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \\ &= \frac{1}{2} x + 1 \\ I(x^2) &= x^{-1} \int_0^x (y+1)^2 dy \\ &= x^{-1} \int_0^x (y^2+2y+1) dy \\ &= \frac{1}{3} x^2 + x + 1 \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix} I(x^2) & I(x) & I(1) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{3} x^2 + x + 1 & \frac{1}{2} x + 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x^2 & x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、求める表現行列は

\begin{aligned} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

である。

\begin{aligned} t &= \frac{1}{3} , \ \ f(x) = s(2x^2-12x+15) \ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } ) \\ t &= \frac{1}{2} , \ \ f(x) = s(-x+2) \ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } ) \\ t &= 1 , \ \ f(x) = s \ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } ) \end{aligned}

\begin{aligned} I^n(x^2+x+1) &= 3^{-n} x^2 + \left( -6 \cdot 3^{-n} + 7 \cdot 2^{-n} \right) x + \left( \frac{15}{2} \cdot 3^{-n} - 14 \cdot 2^{-n} + \frac{15}{2} \right) \end{aligned}