神戸大学理学研究科化学専攻 2022年8月実施 [V]-b

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半径の円の内側に閉じ込められた粒子（質量））のシュレディンガー方程式は，平面極座標を用いて (1) 式で表される。ただし，円の内側のポテンシャルは零としている。以下の問いに答えなさい。ただし，であり，はプランク定数である。

問1. 波動関数をとを使って変数分離して，とに対してそれぞれ独立な微分方程式を求めなさい。

問2. 波動関数の境界条件を書きなさい。

問３．粒子の動径方向が（ただし，）の一定値に束縛されている場合，波動関数の一つとしてが挙げられる。この粒子の持つエネルギーを求めなさい。導出の過程も分かるように書きなさい。

与えられたシュレディンガー方程式にを代入して整理すると、

となる。ここで、

である。

はによらないのみの関数であるが、式 (a) から、にもよらない定数でなければならないことがわかる。これをとすると、

であり、式 (a) から

を得る。 (b), () が求める微分方程式である。

は規格化定数を除いて

を意味する。式 (d) を (b) に代入すると、

を得る。に束縛されていることから、式 () においてとし、さらに (e) を代入して整理すると、

を得る。これが求めるエネルギーである。