神戸大学 理学研究科 化学専攻 2022年8月実施 [V]-b

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Author

Miyake

Description

半径 $L$ の円の内側に閉じ込められた粒子（質量 $m_0$））のシュレディンガー方程式は，平面極座標 $(r, \theta)$ を用いて (1) 式で表される。 ただし，円の内側のポテンシャルは零としている。 以下の問いに答えなさい。ただし，$\hbar = h / 2\pi$ であり，$h$ はプランク定数である。

$$\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m_0} \left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right) \Psi(r, \theta) = E \Psi(r, \theta) \tag{1} \end{align}$$

問1. 波動関数 $\Psi(r, \theta)$ を $r$ と $\theta$ を使って変数分離して，$r$ と $\theta$ に対してそれぞれ独立な微分方程式を求めなさい。

問2. 波動関数 $\Psi(r, \theta)$ の境界条件を書きなさい。

問３．粒子の動径方向が $r=r_0$ （ただし，$0 < r_0 < L$）の一定値に束縛されている場合，波動関数の一つとして $\Psi_m(r_0, \theta) = Ae^{im\theta} \ (m=\cdots -2,-1, 0, 1, 2, \cdots)$ が挙げられる。この粒子の持つエネルギーを求めなさい。導出の過程も分かるように書きなさい。

题目描述

质量为 $m_0$ 的粒子被限制在半径为 $L$ 的圆内，圆内势能为零。其在平面极坐标 $(r,\theta)$ 中的 Schrödinger 方程为

$$-\frac{\hbar^2}{2m_0} \left[ \frac1r\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \right]\Psi(r,\theta) =E\Psi(r,\theta), \tag{1}$$

其中 $\hbar=h/(2\pi)$，$h$ 为 Planck 常数。

1. 将波函数 $\Psi(r,\theta)$ 对 $r,\theta$ 分离变量，分别求出径向与角向的独立微分方程。

2. 写出波函数 $\Psi(r,\theta)$ 应满足的边界条件。

3. 若粒子径向被限制在常数 $r=r_0$（$0<r_0<L$），一个可能的波函数为

   $$\Psi_m(r_0,\theta)=Ae^{im\theta}, \qquad m=\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots.$$

   求该粒子的能量，并写出推导过程。

考点

• 极坐标 Schrödinger 方程的分离变量：令 $\Psi=R(r)\Theta(\theta)$，得到 Bessel 型径向方程和周期角向方程。
• 圆形无限深势阱边界条件：使用波函数有限、单值、周期以及在 $r=L$ 处为零的条件。
• 圆环上的角动量量子化：将 $e^{im\theta}$ 代入角向动能算符，得到整数 $m$ 对应的能级。

Kai

問1.

与えられたシュレディンガー方程式に $\Psi(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ を代入して整理すると、

$$\begin{align} \frac{1}{r} \frac{R'(r)}{R(r)} + \frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{1}{r^2} \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = - \frac{2m_0E}{\hbar^2} \tag{a} \end{align}$$

となる。 ここで、

$$\begin{aligned} R'(r) = \frac{dR(r)}{dr} , \ \ R''(r) = \frac{d^2 R(r)}{dr^2} , \ \ \Theta''(\theta) = \frac{d^2 \Theta(\theta)}{d \theta^2} \end{aligned}$$

である。

$\Theta''(\theta)/\Theta(\theta)$ は $r$ によらない $\theta$ のみの関数であるが、 式 (a) から、 $\theta$ にもよらない定数でなければならないことがわかる。 これを $\alpha$ とすると、

$$\begin{align} \Theta''(\theta) = \alpha \Theta(\theta) \tag{b} \end{align}$$

であり、式 (a) から

$$\begin{align} R''(r) + \frac{1}{r} R'(r) + \left( \frac{\alpha}{r^2} + \frac{2m_0E}{\hbar^2} \right) R(r) = 0 \tag{c} \end{align}$$

を得る。 (b), ($c$) が求める微分方程式である。

問2.

$$\begin{aligned} \Psi(L, \theta) &= 0 , \\ \Psi(r, 2 \pi) &= \Psi(r, 0) \end{aligned}$$

問3.

$\Psi_m(r_0,\theta) = Ae^{im\theta}$ は規格化定数を除いて

$$\begin{align} \Theta(\theta) &= e^{im\theta} \tag{d} \end{align}$$

を意味する。 式 (d) を (b) に代入すると、

$$\begin{align} \alpha = - m^2 \tag{e} \end{align}$$

を得る。 $r=r_0$ に束縛されていることから、式 ($c$) において $r=r_0, R'(r)=0, R''(r)=0$ とし、 さらに (e) を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} E = \frac{m^2 \hbar^2}{2m_0r_0^2} \end{aligned}$$

を得る。 これが求めるエネルギーである。