神戸大学 工学研究科 市民工学専攻 2021年8月実施 専門科目 数学

Author

Miyake

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1.

確率変数 の確率密度関数 が次式で与えられているとき，以下の問に答えなさい. ただし， は定数とする．

(1) の値を求めなさい．

(2) となる確率を求めなさい．

(3) 期待値 と分散 を求めなさい．

2.

行列 に関して，ある行列 を用い のように計算されるとき，以下の問に答えなさい．

(1) の値を求めなさい．

(2) 行列 を求めなさい．

3.

とするとき， 平面上で，原点 から点 に至る線分 に沿う の線積分の値 を求めなさい．

4.

以下の常微分方程式の一般解を求めなさい．

Kai

1.

(1)

確率密度関数の規格化の条件より、

がわかる。

(2)

求める確率は、

である。

(3)

2.

(1)

が成り立つので、 がわかる。

(2)

次の単位行列を とする。 の固有値を とすると、

がわかる。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため、

とおくと、 がわかるので、規格化された固有ベクトルとして、

を得る。

固有値 に属する一般化固有ベクトルを求めるため、

とおくと、 がわかるので、

とすればよい。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため、

とおくと、 がわかるので、規格化された固有ベクトルとして、

を得る。

以上より、求める は

である。

3.

4.

まず、 を考えると、

なので、積分定数を として、一般解は である。 そこで、 を適当な関数として、 を与えられた微分方程式に代入すると、

を得るので、求める一般解は、

であることがわかる。