神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 熱力学 第2問

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• 神户大学
• 稳定流动能量方程
• 不可逆过程

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題[1]，[2]は別々の答案用紙に解答すること。

[2] 周囲環境（温度 $T_0\,[\mathrm K]$，圧力 $P_0\,[\mathrm{Pa}]$）と平衡状態にある理想気体（気体定数 $R\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$，比熱比 $\kappa$）を，環境温度，高圧（圧力 $P_S\,[\mathrm{Pa}]$）で供給するシステムを構築する。供給流量は $m\,[\mathrm{kg/s}]$ とする。圧縮機およびタービンでの過程は可逆断熱過程とし，システムから外界への放熱および流路での圧力損失は考慮しない。以下の問いに答えなさい。

(1) 熱交換器を通過する理想気体の温度 $T\,[\mathrm K]$ と比エントロピー $s\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ の関係式を導出しなさい。

(2) この理想気体について，このシステムを実現するフローを図2のうち2つの要素を使って描きなさい。

(3) この理想気体の状態変化について $T-S$ 線図，$P-V$ 線図を描きなさい。ここで，$S$ はエントロピー $[\mathrm{J/K}]$，$V$ は体積 $[\mathrm{m^3}]$ である。

(4) この理想気体の状態変化に要する動力 $\dot W\,[\mathrm W]$ を $m,R,\kappa,T_0,P_0,P_S$ で表しなさい。

(5) 熱交換器での熱交換量 $\dot Q\,[\mathrm W]$ を $m,R,\kappa,T_0,P_0,P_S$ で表しなさい。

(6) 圧縮機およびタービンでの過程が不可逆断熱過程である場合の $T-S$ 線図を描きなさい。また，可逆断熱過程である場合に対する温度およびエネルギー量の差異を説明しなさい。

题目描述

问题[1]、[2]须分别在不同的答题纸上作答。

[2] 构建一个系统，将与环境（温度 $T_0\,[\mathrm K]$、压力 $P_0\,[\mathrm{Pa}]$）处于平衡状态的理想气体，以环境温度和高压 $P_S\,[\mathrm{Pa}]$ 供给。理想气体的气体常数为 $R\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$，比热比为 $\kappa$，供给质量流量为 $m\,[\mathrm{kg/s}]$。压缩机和透平中的过程均为可逆绝热过程，不考虑系统向外界放热及流道内的压力损失。回答下列问题。

(1) 推导通过换热器的理想气体的温度 $T\,[\mathrm K]$ 与比熵 $s\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ 的关系式。

(2) 针对该理想气体，从图2中选用两个元件，画出实现该系统的流程。

(3) 画出理想气体状态变化的 $T-S$ 图和 $P-V$ 图。其中 $S$ 为熵 $[\mathrm{J/K}]$，$V$ 为体积 $[\mathrm{m^3}]$。

(4) 用 $m,R,\kappa,T_0,P_0,P_S$ 表示理想气体状态变化所需的功率 $\dot W\,[\mathrm W]$。

(5) 用 $m,R,\kappa,T_0,P_0,P_S$ 表示换热器中的换热率 $\dot Q\,[\mathrm W]$。

(6) 若压缩机及透平中的过程为不可逆绝热过程，画出相应的 $T-S$ 图，并说明其温度及能量与可逆绝热过程相比有何差异。

图2：能源系统所用元件，包括(a)换热器（高温侧和低温侧）、(b)压缩机、(c)透平；图中标明各元件的入口和出口。

Kai

$c_p=\kappa R/(\kappa-1)$、$a=(\kappa-1)/\kappa$ とおく。入口を状態1、圧縮機出口を状態2、供給状態を3とする。

(1)

熱交換器内は圧力一定なので $Tds=dh-vdp=c_p\,dT$。よって

$$\boxed{s-s_{\mathrm{ref}}=c_p\log\frac{T}{T_{\mathrm{ref}}}}\quad\text{（同一圧力上の基準点）}.$$

特に周囲の比エントロピーを $s_0$ とすれば、圧力 $P_S$ において

$$s-s_0=c_p\log\frac{T}{T_0}-R\log\frac{P_S}{P_0},$$

$$\boxed{T=T_0\left(\frac{P_S}{P_0}\right)^a\exp\left(\frac{s-s_0}{c_p}\right)}.$$

(2)

圧縮機→熱交換器の順とする。圧縮で圧力と温度を上げ、熱交換器で冷却流体へ熱を渡して $T_0$ に戻す。熱交換器内の二流体間の熱交換は、外界への熱損失とは区別する。

(3)

可逆断熱圧縮から

$$T_2=T_0\left(\frac{P_S}{P_0}\right)^a,\qquad s_2=s_1=s_0.$$

等圧冷却の終点は $T_3=T_0$、$s_3=s_0-R\log(P_S/P_0)$。一定量の気体を取った $T$–$S$ 図では1→2が鉛直上向き、2→3が高圧等圧線に沿う左下向きとなる。$P$–$V$ 図では1→2が $PV^\kappa=\text{一定}$、2→3が $P=P_S$ の水平左向きである。

(4), (5)

圧縮機への入力はエンタルピー増加より

$$\boxed{\dot W=m c_p(T_2-T_0)=\frac{\kappa}{\kappa-1}mRT_0\left[\left(\frac{P_S}{P_0}\right)^a-1\right]}.$$

気体から冷却流体へ渡す熱を正として

$$\boxed{\dot Q=m c_p(T_2-T_3)=\frac{\kappa}{\kappa-1}mRT_0\left[\left(\frac{P_S}{P_0}\right)^a-1\right]=\dot W}.$$

全体の入口と出口で温度が等しく、理想気体のエンタルピー差はゼロである。

(6)

断熱でも不可逆性があればエントロピーが増加する。同じ入口・出口圧力を比べると、圧縮機の実際の出口2′は、可逆出口2より同じ $P_S$ の等圧線上で右上に位置する。従って $T_{2'}>T_2$、必要動力と後冷却器の熱交換量はともに増す。

圧縮機効率 $\eta_c=(T_2-T_0)/(T_{2'}-T_0)<1$ を用いれば

$$\boxed{\dot W'=\frac{\dot W}{\eta_c},\qquad\dot Q'=\dot W'}.$$

供給温度は後冷却によって $T_0$ のまま保たれる。タービンの場合も、同じ入口・出口圧力なら不可逆出口の温度は可逆出口より高い。そのため取り出せる仕事 $m c_p(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})$ は減少する。不可逆過程の途中状態は一意には定まらないので、図の破線は終点を結ぶ模式線である。

Reference

• 神戸大学公式問題の保存版：平成31年度 熱力学、PDF 2ページ