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神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 熱力学 第1問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

問題[1]，[2]は別々の答案用紙に解答すること。

[1] 図1に示すように，周囲圧力 P0 [Pa]P_0\,[\mathrm{Pa}] 中に，シリンダおよび可動ピストンが置かれている。ピストンにより，理想気体（体積 V1 [m3]V_1\,[\mathrm{m^3}]）が周囲圧力と同じ P0 [Pa]P_0\,[\mathrm{Pa}] で閉じ込められている。これを状態1とする。その後，以下に示す過程 A～C を行った。全ての過程は，準静的過程であるとみなす。

図1 シリンダ内の理想気体と可動ピストン

  • 過程 A： シリンダ壁を通して気体を冷却し，等圧状態で圧縮したところ，シリンダ内の体積が V2 [m3]V_2\,[\mathrm{m^3}] となった（状態2）。
  • 過程 B： 過程 A の後，ピストンを固定し，気体の圧力が P3 [Pa]P_3\,[\mathrm{Pa}] になるまでシリンダ壁を通して気体を加熱した（状態3）。
  • 過程 C： 過程 B の後，等温変化させたところ，状態1となり変化が終了した。

以下の問いに答えなさい。理想気体の比熱比は κ\kappa とする。各設問で使って良い記号は P0,V1,V2,κP_0,V_1,V_2,\kappa とする。

(1) このサイクルの P−VP-V 線図を描きなさい。状態および変化の方向を明記すること。

(2) 過程 A において，気体が周囲にした仕事 WA [J]W_A\,[\mathrm J] を求めなさい。

(3) 過程 A において，気体の放熱量 QA [J]Q_A\,[\mathrm J] を求めなさい。

(4) 過程 B において，気体が周囲にした仕事 WB [J]W_B\,[\mathrm J] を求めなさい。

(5) 過程 B において，気体への加熱量 QB [J]Q_B\,[\mathrm J] を求めなさい。

(6) 過程 C において，気体が周囲にした仕事 WC [J]W_C\,[\mathrm J] を求めなさい。

(7) このサイクルの熱効率 η\eta を求めなさい。

题目描述​

问题[1]、[2]须分别在不同的答题纸上作答。

[1] 如图1，在环境压力 P0 [Pa]P_0\,[\mathrm{Pa}] 下放置气缸和可动活塞。活塞将体积为 V1 [m3]V_1\,[\mathrm{m^3}] 的理想气体封闭，气体压力与环境压力相同，均为 P0 [Pa]P_0\,[\mathrm{Pa}]。将此状态称为状态1。随后依次进行下列 A～C 过程，所有过程均视为准静态过程。

  • 过程 A： 通过气缸壁冷却气体并进行等压压缩，使气缸内体积变为 V2 [m3]V_2\,[\mathrm{m^3}]（状态2）。
  • 过程 B： 过程 A 后固定活塞，通过气缸壁加热气体，直至气体压力达到 P3 [Pa]P_3\,[\mathrm{Pa}]（状态3）。
  • 过程 C： 过程 B 后进行等温变化，最终回到状态1，过程结束。

回答下列问题。设理想气体的比热比为 κ\kappa，各问仅允许使用 P0,V1,V2,κP_0,V_1,V_2,\kappa 这些符号。

(1) 画出该循环的 P−VP-V 图，明确标出各状态及变化方向。

(2) 求过程 A 中气体对外界所做的功 WA [J]W_A\,[\mathrm J]。

(3) 求过程 A 中气体的放热量 QA [J]Q_A\,[\mathrm J]。

(4) 求过程 B 中气体对外界所做的功 WB [J]W_B\,[\mathrm J]。

(5) 求过程 B 中向气体加入的热量 QB [J]Q_B\,[\mathrm J]。

(6) 求过程 C 中气体对外界所做的功 WC [J]W_C\,[\mathrm J]。

(7) 求该循环的热效率 η\eta。

Kai​

(1)​

Cが等温なので P3V2=P0V1P_3V_2=P_0V_1。Aは左向き水平線、Bは上向き鉛直線、Cは双曲線 PV=P0V1PV=P_0V_1 に沿う右向きの膨張である。

時計回りの等圧・等積・等温サイクル

(2), (3)​

気体が外部へする仕事を正、放熱量を正の大きさとすると

WA=∫V1V2P0 dV=P0(V2−V1),\boxed{W_A=\int_{V_1}^{V_2}P_0\,dV=P_0(V_2-V_1)},
QA=κκ−1P0(V1−V2).\boxed{Q_A=\frac{\kappa}{\kappa-1}P_0(V_1-V_2)}.

後式は等圧過程の熱量 mcpΔT=κΔ(PV)/(κ−1)m c_p\Delta T=\kappa\Delta(PV)/(\kappa-1) の符号を反転したもの。

(4), (5)​

等積なので WB=0\boxed{W_B=0}。加熱量は内部エネルギー増加に等しく

QB=P3V2−P0V2κ−1=P0(V1−V2)κ−1.\boxed{Q_B=\frac{P_3V_2-P_0V_2}{\kappa-1}=\frac{P_0(V_1-V_2)}{\kappa-1}}.

(6)​

WC=∫V2V1P0V1V dV=P0V1log⁡V1V2.\boxed{W_C=\int_{V_2}^{V_1}\frac{P_0V_1}{V}\,dV=P_0V_1\log\frac{V_1}{V_2}}.

等温理想気体では ΔUC=0\Delta U_C=0 なので、Cでも QC=WC>0Q_C=W_C>0 の吸熱がある。

(7)​

受熱はBとCの両方であり、Qin=QB+QCQ_{\mathrm{in}}=Q_B+Q_C。従って

η=WA+WB+WCQB+QC=(κ−1){V1log⁡(V1/V2)−(V1−V2)}(V1−V2)+(κ−1)V1log⁡(V1/V2).\boxed{\eta=\frac{W_A+W_B+W_C}{Q_B+Q_C} =\frac{(\kappa-1)\{V_1\log(V_1/V_2)-(V_1-V_2)\}} {(V_1-V_2)+(\kappa-1)V_1\log(V_1/V_2)}}.

Reference​

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