神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 数学 問題4

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• 神户大学
• 矩阵指数
• 初值问题

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$x\ge0$ に対する微分方程式系

$$\frac{d\boldsymbol y}{dx}=A\boldsymbol y+e^x\boldsymbol c,\qquad \boldsymbol y(0)=\boldsymbol0,\qquad A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

を考える。$\boldsymbol y=(y_1,y_2)^T$、$\boldsymbol c\in\mathbb R^2$ は定ベクトルである。

(1) $e^{xA}=\sum_{k=0}^\infty x^kA^k/k!$（$A^0=I$）を求めよ。

(2) $\boldsymbol z(x)=e^{-x}\boldsymbol y(x)$ とおき、$\boldsymbol z$ の微分方程式系を導け。

(3) $\boldsymbol y(\pi)=e^\pi\boldsymbol z(\pi)=(1,2)^T$ を満たす $\boldsymbol c$ を求めよ。

题目描述

在 $x\ge0$ 上考虑 $\boldsymbol y'=A\boldsymbol y+e^x\boldsymbol c$，其中 $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol y(0)=0$，$\boldsymbol c$ 是实二维常向量。

(1) 求矩阵指数 $e^{xA}$。

(2) 令 $\boldsymbol z=e^{-x}\boldsymbol y$，推导其微分方程。

(3) 求使 $\boldsymbol y(\pi)=e^\pi\boldsymbol z(\pi)=(1,2)^T$ 的 $\boldsymbol c$。

Kai

(1)

$A^2=-I$ より級数を偶数次・奇数次に分けると、

$$\boxed{e^{xA}=I\cos x+A\sin x=\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}.$$

(2)

$\boldsymbol z'=-e^{-x}\boldsymbol y+e^{-x}\boldsymbol y'$ より、

$$\boxed{\boldsymbol z'=(A-I)\boldsymbol z+\boldsymbol c,\qquad\boldsymbol z(0)=0}.$$

(3)

定数変化法により、

$$\boldsymbol z(x)=\int_0^x e^{u(A-I)}\,du\,\boldsymbol c.$$

$e^{u(A-I)}=e^{-u}(I\cos u+A\sin u)$ であり、

$$\int_0^\pi e^{-u}\cos u\,du=\int_0^\pi e^{-u}\sin u\,du=\frac{1+e^{-\pi}}2.$$

したがって、

$$\boldsymbol z(\pi)=\frac{1+e^{-\pi}}2 \begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\boldsymbol c=e^{-\pi}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},$$

を解いて、

$$\boxed{\boldsymbol c=\frac1{e^\pi+1}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.$$

Reference

• 神戸大学 2019年度原問題（公式公開ファイルの保存版）