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神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 数学 問題3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

nn を自然数とし、

fn(x)={n,∣x∣≤1/n,0,∣x∣>1/nf_n(x)=\begin{cases}n,&|x|\le1/n,\\0,&|x|>1/n\end{cases}

とする。

(1) Fourier 変換 f^n(t)=12π∫−∞∞fn(x)e−itx dx\widehat f_n(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)e^{-itx}\,dx（−∞<t<∞-\infty<t<\infty）を求めよ。

(2) 任意に固定した t≠0t\ne0 に対して lim⁡n→∞f^n(t)\lim_{n\to\infty}\widehat f_n(t) を求めよ。また、任意に固定した自然数 nn に対して lim⁡t→0f^n(t)\lim_{t\to0}\widehat f_n(t) を求めよ。

(3) (1)を利用して ∫0∞sin⁡(t/n)/t dt\int_0^\infty\sin(t/n)/t\,dt を求めよ。

题目描述​

对自然数 nn，令 fn(x)=nf_n(x)=n（∣x∣≤1/n|x|\le1/n），其余处为 00。

(1) 按 f^n(t)=12π∫−∞∞fn(x)e−itx dx\widehat f_n(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)e^{-itx}\,dx 求 Fourier 变换。

(2) 分别求固定非零 tt 时的 n→∞n\to\infty 极限，以及固定 nn 时的 t→0t\to0 极限。

(3) 利用(1)计算 ∫0∞sin⁡(t/n)/t dt\int_0^\infty\sin(t/n)/t\,dt。

Kai​

(1)​

直接積分して、

f^n(t)={2πnsin⁡(t/n)t,t≠0,2π,t=0.\boxed{\widehat f_n(t)=\begin{cases} \sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac{n\sin(t/n)}t,&t\ne0,\\ \sqrt{\dfrac2\pi},&t=0. \end{cases}}

(2)​

sin⁡u/u→1\sin u/u\to1（u→0u\to0）を用いると、

lim⁡n→∞f^n(t)=2π,lim⁡t→0f^n(t)=2π.\boxed{\lim_{n\to\infty}\widehat f_n(t)=\sqrt{\frac2\pi},\qquad \lim_{t\to0}\widehat f_n(t)=\sqrt{\frac2\pi}}.

(3)​

fnf_n の連続点 x=0x=0 で Fourier 反転公式を用いる。対称な広義積分の意味で、

n=fn(0)=12π∫−∞∞f^n(t) dt=nπ∫−∞∞sin⁡(t/n)t dt.n=f_n(0)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\widehat f_n(t)\,dt =\frac n\pi\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(t/n)}t\,dt.

被積分関数は偶関数であり、各片側積分は Dirichlet の判定により収束する。よって、

∫0∞sin⁡(t/n)t dt=π2.\boxed{\int_0^\infty\frac{\sin(t/n)}t\,dt=\frac\pi2}.

Reference​

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