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神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 数学 問題2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

x,yx,y は実数、u(x,y)=x3−3xy2+xu(x,y)=x^3-3xy^2+x とする。

(1) Cauchy–Riemann の関係式 ux=vy, uy=−vxu_x=v_y,\ u_y=-v_x と v(0,0)=0v(0,0)=0 を満たす実数値関数 v(x,y)v(x,y) を求めよ。

(2) z=x+iyz=x+iy に対し、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) を zz のみで表せ。

(3) 複素平面上で中心 ii、半径 2\sqrt2 の反時計回りの円周を CC とする。∮Cdz/f(z)\oint_C dz/f(z) を求めよ。

题目描述​

设 u(x,y)=x3−3xy2+xu(x,y)=x^3-3xy^2+x。

(1) 求满足 ux=vy, uy=−vxu_x=v_y,\ u_y=-v_x 且 v(0,0)=0v(0,0)=0 的实值函数 vv。

(2) 用 z=x+iyz=x+iy 表示 f=u+ivf=u+iv。

(3) 沿以 ii 为圆心、半径 2\sqrt2、逆时针方向的圆周 CC，计算 ∮Cdz/f(z)\oint_C dz/f(z)。

Kai​

(1)​

vy=3x2−3y2+1v_y=3x^2-3y^2+1 の積分から v=3x2y−y3+y+h(x)v=3x^2y-y^3+y+h(x)。さらに vx=6xy=−uyv_x=6xy=-u_y より h′=0h'=0、v(0,0)=0v(0,0)=0 より h=0h=0。従って、

v(x,y)=3x2y−y3+y.\boxed{v(x,y)=3x^2y-y^3+y}.

(2)​

z3+zz^3+z の実部・虚部を比較して、f(z)=z3+z\boxed{f(z)=z^3+z}。

(3)​

1/f(z)=1/[z(z−i)(z+i)]1/f(z)=1/[z(z-i)(z+i)] の極は 0,i,−i0,i,-i。中心 ii からの距離はそれぞれ 1,0,21,0,2 なので、円内の極は 0,i0,i である。留数は、

Res⁡z=01f(z)=1,Res⁡z=i1f(z)=−12.\operatorname{Res}_{z=0}\frac1{f(z)}=1,\qquad \operatorname{Res}_{z=i}\frac1{f(z)}=-\frac12.

よって留数定理から、

∮Cdzf(z)=2πi(1−12)=πi.\boxed{\oint_C\frac{dz}{f(z)}=2\pi i\left(1-\frac12\right)=\pi i}.

Reference​

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