神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 数学 問題1

标签：

• 神户大学
• 二重积分
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

次の各問いに答えよ。

(1) $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le x\le1,\ x\le y\le1\}$ に対し、$\iint_D e^{x^3/3-x}y\,dx\,dy$ を求めよ。

(2) $\alpha\ne0$ を実数、$n$ を自然数とする。次の行列 $A$ に対し、$A^n$ の固有値をすべて求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}0&\alpha&0\\0&0&\alpha\\\alpha&0&0\end{pmatrix}.$$

题目描述

(1) 在区域 $0\le x\le1,\ x\le y\le1$ 上计算 $\iint_D e^{x^3/3-x}y\,dx\,dy$。

(2) 对上述矩阵 $A$，其中实数 $\alpha\ne0$、$n$ 为自然数，求 $A^n$ 的全部特征值。

Kai

(1)

$y$ を先に積分すると、

$$\begin{aligned} \iint_D e^{x^3/3-x}y\,dx\,dy &=\frac12\int_0^1 e^{x^3/3-x}(1-x^2)\,dx\\ &=-\frac12\left[e^{x^3/3-x}\right]_0^1 =\boxed{\frac{1-e^{-2/3}}2}. \end{aligned}$$

(2)

$\det(\lambda I-A)=\lambda^3-\alpha^3$ より、$A$ の固有値は $\alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2$、ただし $\omega=e^{2\pi i/3}$。これらは相異なるので $A$ は対角化可能で、$A^n$ の固有値は $\alpha^n,\alpha^n\omega^n,\alpha^n\omega^{2n}$ である。従って、

$$\boxed{ \begin{cases} \alpha^n\quad(3\text{重}),&n\equiv0\pmod3,\\ \alpha^n,\quad\alpha^n\dfrac{-1+i\sqrt3}{2},\quad\alpha^n\dfrac{-1-i\sqrt3}{2},&n\not\equiv0\pmod3. \end{cases}}$$

Reference

• 神戸大学 2019年度原問題（公式公開ファイルの保存版）