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神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 数学 問題4

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

  1. y(x)=(y1(x)y2(x)), x≥0\boldsymbol y(x)=\begin{pmatrix}y_1(x)\\y_2(x)\end{pmatrix},\ x\ge0 に関する微分方程式系
dydx=Ay+exc,y(0)=0(*)\frac{d\boldsymbol y}{dx}=A\boldsymbol y+e^x\boldsymbol c,\qquad \boldsymbol y(0)=\boldsymbol0\tag{*}

を考える。ここで

A=(01−10),0=(00)A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

とし，c∈R2\boldsymbol c\in\mathbb R^2 は定ベクトルとする。

(1) 行列の指数関数 exAe^{xA} を求めよ。ここで

exA=∑k=0∞xkk!Ak,A0=I（単位行列）e^{xA}=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}A^k,\qquad A^0=I\text{（単位行列）}

とする。

(2) z(x)=e−xy(x)\boldsymbol z(x)=e^{-x}\boldsymbol y(x) とおいて，z(x)\boldsymbol z(x) に関する微分方程式系を導け。

(3) (*)の解 y\boldsymbol y が

y(π)=eπz(π)=(12)\boldsymbol y(\pi)=e^\pi\boldsymbol z(\pi)=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}

を満たすように，定ベクトル c\boldsymbol c を決めよ。

题目描述​

  1. 考虑关于 y(x)=(y1(x)y2(x))\boldsymbol y(x)=\begin{pmatrix}y_1(x)\\y_2(x)\end{pmatrix}、x≥0x\ge0 的微分方程组
dydx=Ay+exc,y(0)=0.(*)\frac{d\boldsymbol y}{dx}=A\boldsymbol y+e^x\boldsymbol c,\qquad \boldsymbol y(0)=\boldsymbol0.\tag{*}

其中

A=(01−10),0=(00),A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},

c∈R2\boldsymbol c\in\mathbb R^2 为常向量。

(1) 求矩阵指数函数 exAe^{xA}。这里定义

exA=∑k=0∞xkk!Ak,A0=I（单位矩阵）.e^{xA}=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}A^k,\qquad A^0=I\text{（单位矩阵）}.

(2) 令 z(x)=e−xy(x)\boldsymbol z(x)=e^{-x}\boldsymbol y(x)，推导关于 z(x)\boldsymbol z(x) 的微分方程组。

(3) 确定常向量 c\boldsymbol c，使方程组(*)的解 y\boldsymbol y 满足

y(π)=eπz(π)=(12).\boldsymbol y(\pi)=e^\pi\boldsymbol z(\pi)=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.

Kai​

(1)​

A2=−IA^2=-I より級数を偶数次・奇数次に分けると、

exA=Icos⁡x+Asin⁡x=(cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x).\boxed{e^{xA}=I\cos x+A\sin x=\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}.

(2)​

z′=−e−xy+e−xy′\boldsymbol z'=-e^{-x}\boldsymbol y+e^{-x}\boldsymbol y' より、

z′=(A−I)z+c,z(0)=0.\boxed{\boldsymbol z'=(A-I)\boldsymbol z+\boldsymbol c,\qquad\boldsymbol z(0)=0}.

(3)​

定数変化法により、

z(x)=∫0xeu(A−I) du c.\boldsymbol z(x)=\int_0^x e^{u(A-I)}\,du\,\boldsymbol c.

eu(A−I)=e−u(Icos⁡u+Asin⁡u)e^{u(A-I)}=e^{-u}(I\cos u+A\sin u) であり、

∫0πe−ucos⁡u du=∫0πe−usin⁡u du=1+e−π2.\int_0^\pi e^{-u}\cos u\,du=\int_0^\pi e^{-u}\sin u\,du=\frac{1+e^{-\pi}}2.

したがって、

z(π)=1+e−π2(11−11)c=e−π(12),\boldsymbol z(\pi)=\frac{1+e^{-\pi}}2 \begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\boldsymbol c=e^{-\pi}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},

を解いて、

c=1eπ+1(−13).\boxed{\boldsymbol c=\frac1{e^\pi+1}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.

Reference​

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