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神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 数学 問題3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

  1. nn を自然数とし，関数
fn(x)={n,∣x∣≤1n,0,∣x∣>1nf_n(x)=\begin{cases}n,&|x|\le\dfrac1n,\\[4pt]0,&|x|>\dfrac1n\end{cases}

を考える。

(1) fn(x)f_n(x) のフーリエ変換

f^n(t)=12π∫−∞∞fn(x)e−itx dx,−∞<t<∞\widehat f_n(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f_n(x)e^{-itx}\,dx, \qquad-\infty<t<\infty

を求めよ。

(2) 任意に固定された t≠0t\ne0 に対して，極限値 lim⁡n→∞f^n(t)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\widehat f_n(t) を求めよ。また，任意に固定された自然数 nn に対して，極限値 lim⁡t→0f^n(t)\displaystyle\lim_{t\to0}\widehat f_n(t) を求めよ。

(3) (1)の結果を利用して，定積分

∫0∞sin⁡(t/n)t dt\int_0^\infty\frac{\sin(t/n)}{t}\,dt

の値を求めよ。

题目描述​

  1. 设 nn 为自然数，考虑函数
fn(x)={n,∣x∣≤1n,0,∣x∣>1n.f_n(x)=\begin{cases}n,&|x|\le\dfrac1n,\\[4pt]0,&|x|>\dfrac1n.\end{cases}

(1) 求 fn(x)f_n(x) 的傅里叶变换

f^n(t)=12π∫−∞∞fn(x)e−itx dx,−∞<t<∞.\widehat f_n(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f_n(x)e^{-itx}\,dx, \qquad-\infty<t<\infty.

(2) 对任意固定的 t≠0t\ne0，求极限 lim⁡n→∞f^n(t)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\widehat f_n(t)。此外，对任意固定的自然数 nn，求极限 lim⁡t→0f^n(t)\displaystyle\lim_{t\to0}\widehat f_n(t)。

(3) 利用第(1)问的结果，求定积分

∫0∞sin⁡(t/n)t dt\int_0^\infty\frac{\sin(t/n)}{t}\,dt

的值。

Kai​

(1)​

直接積分して、

f^n(t)={2πnsin⁡(t/n)t,t≠0,2π,t=0.\boxed{\widehat f_n(t)=\begin{cases} \sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac{n\sin(t/n)}t,&t\ne0,\\ \sqrt{\dfrac2\pi},&t=0. \end{cases}}

(2)​

sin⁡u/u→1\sin u/u\to1（u→0u\to0）を用いると、

lim⁡n→∞f^n(t)=2π,lim⁡t→0f^n(t)=2π.\boxed{\lim_{n\to\infty}\widehat f_n(t)=\sqrt{\frac2\pi},\qquad \lim_{t\to0}\widehat f_n(t)=\sqrt{\frac2\pi}}.

(3)​

fnf_n の連続点 x=0x=0 で Fourier 反転公式を用いる。対称な広義積分の意味で、

n=fn(0)=12π∫−∞∞f^n(t) dt=nπ∫−∞∞sin⁡(t/n)t dt.n=f_n(0)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\widehat f_n(t)\,dt =\frac n\pi\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(t/n)}t\,dt.

被積分関数は偶関数であり、各片側積分は Dirichlet の判定により収束する。よって、

∫0∞sin⁡(t/n)t dt=π2.\boxed{\int_0^\infty\frac{\sin(t/n)}t\,dt=\frac\pi2}.

Reference​

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