跳到主要内容

神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 数学 問題2

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

  1. x,yx,y を実数とし，実数値関数 u(x,y)=x3−3xy2+xu(x,y)=x^3-3xy^2+x を考える。

(1) コーシー・リーマンの関係式

∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

および v(0,0)=0v(0,0)=0 を満たす実数値関数 v(x,y)v(x,y) を求めよ。

(2) 複素変数 z=x+iyz=x+iy の関数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) を考える。f(z)f(z) を zz のみを用いて表わせ。

(3) 複素平面上の点 ii を中心とし，半径 2\sqrt2 の反時計方向に向き付けられた円周を CC とする。複素積分

∫C1f(z) dz\int_C\frac1{f(z)}\,dz

の値を求めよ。

题目描述​

  1. 设 x,yx,y 为实数，考虑实值函数 u(x,y)=x3−3xy2+xu(x,y)=x^3-3xy^2+x。

(1) 求满足柯西–黎曼关系式

∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

及 v(0,0)=0v(0,0)=0 的实值函数 v(x,y)v(x,y)。

(2) 考虑复变量 z=x+iyz=x+iy 的函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，仅用 zz 表示 f(z)f(z)。

(3) 设 CC 为复平面上以点 ii 为圆心、半径为 2\sqrt2、方向为逆时针的圆周，求复积分

∫C1f(z) dz\int_C\frac1{f(z)}\,dz

的值。

Kai​

(1)​

vy=3x2−3y2+1v_y=3x^2-3y^2+1 の積分から v=3x2y−y3+y+h(x)v=3x^2y-y^3+y+h(x)。さらに vx=6xy=−uyv_x=6xy=-u_y より h′=0h'=0、v(0,0)=0v(0,0)=0 より h=0h=0。従って、

v(x,y)=3x2y−y3+y.\boxed{v(x,y)=3x^2y-y^3+y}.

(2)​

z3+zz^3+z の実部・虚部を比較して、f(z)=z3+z\boxed{f(z)=z^3+z}。

(3)​

1/f(z)=1/[z(z−i)(z+i)]1/f(z)=1/[z(z-i)(z+i)] の極は 0,i,−i0,i,-i。中心 ii からの距離はそれぞれ 1,0,21,0,2 なので、円内の極は 0,i0,i である。留数は、

Res⁡z=01f(z)=1,Res⁡z=i1f(z)=−12.\operatorname{Res}_{z=0}\frac1{f(z)}=1,\qquad \operatorname{Res}_{z=i}\frac1{f(z)}=-\frac12.

よって留数定理から、

∮Cdzf(z)=2πi(1−12)=πi.\boxed{\oint_C\frac{dz}{f(z)}=2\pi i\left(1-\frac12\right)=\pi i}.

Reference​

本页目录