神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 数学 問題1

标签：

• 神户大学
• 二重积分
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. つぎの各問いに答えよ。

(1) 集合 $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le x\le1,\ x\le y\le1\}$ に対して，2重積分

$$\iint_D e^{\frac13x^3-x}y\,dx\,dy$$

の値を求めよ。

(2) $\alpha$ を0でない実数とする。行列

$$A=\begin{pmatrix}0&\alpha&0\\0&0&\alpha\\\alpha&0&0\end{pmatrix}$$

に対して，$A^n$ の固有値を全て求めよ。ただし $n$ は自然数とする。

题目描述

1. 回答下列各问。

(1) 对集合 $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le x\le1,\ x\le y\le1\}$，求二重积分

$$\iint_D e^{\frac13x^3-x}y\,dx\,dy$$

的值。

(2) 设 $\alpha$ 为非零实数。对矩阵

$$A=\begin{pmatrix}0&\alpha&0\\0&0&\alpha\\\alpha&0&0\end{pmatrix},$$

求 $A^n$ 的所有特征值，其中 $n$ 为自然数。

Kai

(1)

$y$ を先に積分すると、

$$\begin{aligned} \iint_D e^{x^3/3-x}y\,dx\,dy &=\frac12\int_0^1 e^{x^3/3-x}(1-x^2)\,dx\\ &=-\frac12\left[e^{x^3/3-x}\right]_0^1 =\boxed{\frac{1-e^{-2/3}}2}. \end{aligned}$$

(2)

$\det(\lambda I-A)=\lambda^3-\alpha^3$ より、$A$ の固有値は $\alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2$、ただし $\omega=e^{2\pi i/3}$。これらは相異なるので $A$ は対角化可能で、$A^n$ の固有値は $\alpha^n,\alpha^n\omega^n,\alpha^n\omega^{2n}$ である。従って、

$$\boxed{ \begin{cases} \alpha^n\quad(3\text{重}),&n\equiv0\pmod3,\\ \alpha^n,\quad\alpha^n\dfrac{-1+i\sqrt3}{2},\quad\alpha^n\dfrac{-1-i\sqrt3}{2},&n\not\equiv0\pmod3. \end{cases}}$$

Reference

• 神戸大学 2019年度原問題（公式公開ファイルの保存版）