神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 材料力学 第2問

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• 神户大学
• 梁的挠度
• 变形协调

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

曲げ剛性 $EI$、全長 $2L$ のはりABをAで固定する。中点CまでのAC間に、Aで $q_0$、Cで0となる三角形分布荷重が鉛直下向きに作用する。AからBへ座標 $x$ を取る。Aの反力 $R_A$ は上向き、支持モーメント $M_A$ は時計回りを正とする。

1. AC間の分布荷重 $q(x)$ を求めよ。
2. $R_A,M_A$ を図の正方向に従って求めよ。
3. AC、CB間のせん断力と曲げモーメントを求めよ。
4. AC間のたわみ角 $\theta_{AC}$、たわみ $v_{AC}$ を求めよ。
5. Cのたわみ $v_C$ とたわみ角 $\theta_C$ を求めよ。
6. CB間のたわみ角 $\theta_{CB}$、たわみ $v_{CB}$ を求めよ。
7. Bのたわみ $v_{B1}$ を求めよ。

次にBの上下に各ばね定数 $k$ のばねを取り付け、同じ分布荷重を加える。Bの鉛直下向き変位を $\delta_B$ とする。

8. 2本のばねによる上向き支持力 $P$ を求めよ。
9. 分布荷重を除き、Bに上向き集中力 $P$ だけが作用するときのたわみ $v_{B2}$ を求めよ。
10. 重ね合わせにより $\delta_B$ を求めよ。

题目描述

长 $2L$、弯曲刚度 $EI$ 的悬臂梁 A 固定，C 为中点。AC 上向下三角分布载荷由 A 的 $q_0$ 线性减至 C 的零。（1）求载荷函数；（2）求反力和支承力矩（上向、顺时针为正）；（3）求两段剪力和弯矩；（4）求AC转角与挠度；（5）求C的转角与挠度；（6）求CB转角与挠度；（7）求B挠度。再于B上下各装一根刚度 $k$ 的弹簧：（8）以向下位移 $\delta_B$ 表示上向弹簧合力；（9）求仅受B端上向力 $P$ 时的挠度；（10）求弹簧支承时的 $\delta_B$。

Kai

たわみ $v$ は下向き、たわみ角は $v'$、曲げモーメントは下面引張を正、せん断力は $F=M'$ とする。この規約では $EI v''=-M$。

(1), (2)

$$\boxed{q(x)=q_0\left(1-\frac xL\right)\quad(0\le x\le L)}.$$

荷重の合力 $q_0L/2$ はAから $L/3$ に作用する。従って

$$\boxed{R_A=\frac{q_0L}{2},\qquad M_A=-\frac{q_0L^2}{6}}.$$

実際の支持モーメントは反時計回りである。

(3)

断面の右側の荷重を積分して

$$\boxed{F_{AC}=\int_x^Lq(\xi)d\xi=\frac{q_0(L-x)^2}{2L}},$$

$$\boxed{M_{AC}=-\int_x^Lq(\xi)(\xi-x)d\xi=-\frac{q_0(L-x)^3}{6L}}.$$

CBでは $\boxed{F_{CB}=M_{CB}=0}$。

(4)

$EI v''=q_0(L-x)^3/(6L)$ を $v(0)=v'(0)=0$ で積分して

$$\boxed{\theta_{AC}=\frac{q_0}{24EIL}[L^4-(L-x)^4]},$$

$$\boxed{v_{AC}=\frac{q_0}{120EIL}[(L-x)^5+5L^4x-L^5]}.$$

(5)

$$\boxed{v_C=\frac{q_0L^4}{30EI},\qquad\theta_C=\frac{q_0L^3}{24EI}}.$$

(6)

CBでは $v''=0$。Cでの連続条件より

$$\boxed{\theta_{CB}=\frac{q_0L^3}{24EI},\qquad v_{CB}=\frac{q_0L^4}{30EI}+\frac{q_0L^3}{24EI}(x-L)}\quad(L\le x\le2L).$$

(7)

$$\boxed{v_{B1}=v_C+L\theta_C=\frac{3q_0L^4}{40EI}}.$$

(8)

下向き変位に対し上のばねは伸び、下のばねは縮み、いずれも上向きに復元力を及ぼす。従って $\boxed{P=2k\delta_B}$。

(9)

長さ $2L$ の片持ちはりの先端荷重によるたわみは、下向きを正として

$$\boxed{v_{B2}=-\frac{P(2L)^3}{3EI}=-\frac{8PL^3}{3EI}}.$$

(10)

$$\delta_B=v_{B1}+v_{B2}=\frac{3q_0L^4}{40EI}-\frac{16kL^3}{3EI}\delta_B.$$

よって

$$\boxed{\delta_B=\frac{9q_0L^4}{40(3EI+16kL^3)}}.$$

Reference

• 神戸大学公式問題の保存版：平成31年度 材料力学、PDF 2ページ